Комплексные числа и математические действия над ними

Конечно, комплексные числа и математические действия над ними детально изучаются в курсах математики. Однако, опыт показывает, что в связи с ограниченным их использованием в учебных курсах за пределами математики и отсутствием в связи с этим практических навыков вычислений большинство студентов при использовании комплексных чисел испытывают значительные затруднения. В то же время математический аппарат, связанный с использованием комплексных чисел, составляет основу теории расчета электрических цепей.

Включение в пособие раздела комплексных чисел в связи с этим вполне оправдано.

Общие положения

Если натуральные числа располагаются на оси, комплексные числа располагаются на плоскости. Ось абсцисс координатной плоскости комплексных чисел является осью вещественных единиц (+1, –1), а ось ординат – мнимых единиц (+j, –j).

В электротехнике мнимая единица обозначается буквой . При этом любой точке координатной плоскости соответствует одно единственное конкретное комплексное число.

Комплексные числа представляют в двух формах. Например, на обычной декартовой координатной плоскости (рис. 2.3) комплексное число, соответствующее точке А комплексной плоскости, записывается , а точке В – . Здесь а₁ и b₁ – вещественные (реальные – Real [Re]) составляющие комплексных чисел [Re], а а₂ и b₂ – мнимые (Impedance – Im) составляющие [Im], так что:

Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Рис. 2.3

Комплексное число может быть записано и в полярных координатах. В этом случае комплексное число  записывается как , , а .

Здесь ,  и  есть модули (величины) комплексных чисел и равны длине лучей, исходящих из начал координат ,  и . Часто эти лучи являются векторами, представляющими соответствующие комплексные числа. Очень часто в целях упрощения записи набора текстов показательная форма комплексного числа записывается в виде , т.е. множитель  заменяется символом .

Понятно, что одному и тому же комплексному числу на векторной плоскости соответствует один единственный вектор, т.е. между комплексными числами и соответствующими им векторами существует взаимно-однозначные соответствия. Это оказывается чрезвычайно полезным для построения векторных диаграмм при расчетах и анализе электрических цепей.

Углы a, b и g являются аргументами комплексных чисел, измеряются в градусах или радианах. Эти углы отсчитываются от положительной полуоси вещественных (+1). При этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки (+a, +b), а отрицательные – по часовой (–g).

Такая форма записи комплексного числа называется показательной. Правила перевода комплексных чисел из алгебраической формы записи в показательную и обратно легко увидеть из рис. 2.3.

Например, для числа  из треугольника ОАm при известных а₁ и а₂ находим: , и . С другой стороны, при известных А и a находим:

а₁ = А×cosa;

а₂ = А×sina.

И так для любого комплексного числа. Например, для  имеем:

, ,

с₁ = С×cos(–g) = С×cosa;

с₂ = С×sin(–g).

При этом .

Умение переводить комплексные числа из одной формы записи в другую для расчета цепей является чрезвычайно важным.

Примеры.

1. , Re[3 + j4] =3,  Im[3 + j4] = 4.

Это число записано в алгебраической форме.

В показательной форме это число записывается так:

.

Здесь модуль (величина) комплексного числа , а аргумент a=59,3°.

2. .

Это комплексное число находится во втором квадранте комплексной плоскости (–3, +j8), а аргумент (угол) отсчитывается от положительной полуоси вещественных.

3. . Алгебраическая форма этого числа

,

т.е.                            , а .

При переходе от одной формы записи комплексного числа к другой можно знать следующее:

1. Комплексное число  находится в первом квадранте комплексной плоскости (рис. 2.4).

Рис. 2.4

В этом случае , , .

2. Комплексное число  находится во втором квадранте комплексной плоскости (рис. 2.5), т.е .

Рис. 2.5

В этом случае , , .

Например, если , то , а    и .

Обратный перевод этого комплексного числа в алгебраическую форму при 150° = 90° + 60° приводит к

.

3. Комплексное число  находится в третьем квадранте комплексной плоскости (рис. 2.6), т.е .

Рис. 2.6

В этом случае , , .

4. Комплексное число  находится в четвертом квадранте комплексной плоскости. Здесь , , .