Законы Кирхгофа и уравнения электрического равновесия цепей

Уравнениями электрического равновесия являются одно или несколько (система) независимых уравнений, в совокупности, исчерпывающе полно описывающие электроэнергетический баланс в цепи во всех режимах ее работы.

По сути, система таких уравнений является особой формой записи классического закона сохранения и превращения энергии применительно к электрическим цепям, который лежит в основе первого и второго закона Кирхгофа.

Поскольку напряжение на участке электрической цепи есть работа сил электрического поля по перемещению зарядов вдоль этого участка, оно представляет собою меру энергии поля, расходуемую на этом участке по преодолению электрического сопротивления на этом участке с превращением ее в тепло, либо по преобразованию энергии в магнитную в катушке индуктивности или электрическую индукцию в конденсаторе.

Первый закон Кирхгофа относится к токам узлов электрической цепи, в которых происходит его разветвление по ветвям, базируется на фундаментальном принципе непрерывности линий тока и сохранения количества носителей электрической энергии (электрических зарядов) в замкнутой цепи и фиксирует, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю , т.е. сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла.

При этом следует понимать, что поскольку в систему уравнений электрического равновесия должны входить только независимые, т.е. отличающиеся друг от друга хотя бы одним составляющим, количество уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на одно меньше, чем узлов в цепи, поскольку последнее уравнение всегда есть следствие всех других.

При составлении алгебраической суммы, как правило, токам, направленным к узлу, приписывается знак «плюс», а направлением от – «минус».

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс электромагнитной энергии (работ, мощностей) при перемещении электрических зарядов вдоль любого замкнутого обхода (контура) электрической цепи и фиксирует, что алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений в нем, т.е. сумма всех повышений электрического потенциала при замкнутом обходе контура всегда равна сумме всех понижений в нем:

.

Для составления алгебраической суммы произвольно выбирается положительное направление обхода контуров (как правило – по часовой стрелке). При этом ЭДС и падения напряжения, совпадающим по направлению с обходом контура, приписывается знак «плюс», не совпадающим – «минус». Понятно, что направление падений напряжений на каждом элементе цепи совпадает с выбранным направлением токов в нем.

Таким образом, количество уравнений по второму закону Кирхгофа при расчете электрических цепей можно составить столько, сколько в них контуров. При этом количество независимых уравнений всегда совпадает с количеством ячеечных контуров.

Количество уравнений при расчете электрических цепей, включаемых в систему уравнений электрического состояния во всех случаях совпадает с количеством ветвей, т.е. с количеством токов, в цепи.

Эти уравнения и лежат в основе всех расчетов электрических цепей.

Если под символом «К» во втором законе Кирхгофа понимать не номер отдельного элемента контура, а номер ветви, а каждую ветвь считать содержащей и R, и L, и C, то этот закон можно сформулировать в следующей редакции:

.

Учитывая, что

,

,

,

получим

.

Это означает, что в общем случае электрическое состояние любой цепи описывается системой дифференциальных уравнений.

Пример.

Последовательность (дорожная карта) действий при составлении уравнений электрического состояния цепи рассматривается на примере цепи (см. рис. 1.12).

1. Определяем число узлов в цепи.

Формально в этой цепи четыре узла.

Однако узлы 3 и 4 являются эквипотенциальными и, следовательно, при расчете могут быть объединены в один узел 3-4.

Следовательно, здесь три узла: 1, 2 и 3-4.

Рис. 1.12

2. Определяем количество контуров.

Формально здесь их шесть, но ячеечных – три I, II, III.

3. Определяем количество ветвей.

Здесь их пять с токами i₁, i₂, i₃, i₄, i₅. Одновременно произвольно выбираем условно-положительные направления токов (показаны стрелками на схеме).

4. Таким образом, эта схема описывается пятью уравнениями электрического состояния: два – по первому закону Кирхгофа, три – по второму.

Всего пять – по количеству ветвей и количеству токов.

4.1. По первому закону Кирхгофа

для узла 1: – i₃ + i₄ – i₅ = 0,

для узла 2: – i₁ + i₂ + i₅ = 0.

4.2. По второму закону Кирхгофа

I контур +  = u_R1 + u_R2 +u_L2 +u_C1 ;

II контур –  = – u_L2 – u_R2 – u_L3 +u_R5 ;

III контур +  = u_L3 + u_R4 + u_L4 +u_C4 .

4.3. Выражая каждое падение напряжения через ток, получаем:

I контур +  ;

II контур –  ;

III контур +  .

Таким образом, п.п. 4.1 и 4.3 и составляют пять независимых дифференциальных уравнений электрического состояния цепи (рис. 14). В них – пять неизвестных токов. После определения i₁(t), i₂(t), i₃(t), i₄(t) и i₅(t) при необходимости можно вычислить ток i₆(t) в перемычке (2 – 4) по первому закону Кирхгофа. Например, для узла 3:

i₁ – i₂ – i_3-4 = 0 ® i_3-4 = i₁ – i₂.

Конечно, решение системы дифференциальных уравнений довольно сложно.

Поэтому в инженерной практике расчета электрических цепей обычно прибегают к разным способам алгебраизации, т.е. приведения систем дифференциальных уравнений к алгебраическим.

В случае цепей синусоидального тока чрезвычайно плодотворным и простым методом алгебраизации оказался т.н. символический метод, основанный на изображении реальных синусоидальных функций комплексными числами (функциями).

Расчет электрических цепей несинусоидального, но периодического тока сводится к приведению несинусоидальных функций к ряду синусоид разных частот с помощью ряда Фурье, что дает возможность и в этом случае использовать символический метод.

С электрическими цепями с не периодическими несинусоидальными токами приходится сталкиваться при расчете цепей в переходных режимах. Алгебраизация дифференциальных уравнений в этом случае производится методами операционного исчисления путем периода функций токов и напряжений в их операторные изображения по Лапласу или Карзону.