Рівняння просторового руху літака

Системи координат, їх взаємозв'язок

При розв'язанні задачі управління польотом літака рекомендовано використовувати нерухомі та рухомі праві прямокутні декартові системи координат.

Нерухомі системи координат, у яких осі та початок координат фіксовані відносно Землі, використовуються як системи відліку швидкостей, прискорень, переміщень ЛА. Як нерухома частіше всього застосовується нормальна система координат O₀X_gY_gZ_g , вісь O₀Y_g якої спрямована уверх за місцевою вертикаллю, а напрями осей O₀X_g i O₀Z_g обираються відповідно із задачею.

Рухомі системи координат, початок яких розташовується в центрі мас ЛА (звідси іх друга назва - ЛАцентричні системи координат), як правило, використовуються для запису рівнянь руху ЛА.

Як рухомі частіше всього використовуються: нормальна, зв'язана, швидкісна та траєкторна системи координат.

Нормальна система координат OX_gY_gZ_g - це рухома система координат, вісь OY_g якої спрямована уверх за місцевою вертикаллю, а напрям осей OX_g i OZ_g обирається відповідно із задачею.

Зв'язана система координат OXYZ - це рухома система координат, осі якої фіксовані відносно ЛА.

Поздовжня вісь OX розташовується в площині симетрії ЛА та спрямована від хвостової до носової його частини.

Нормальна вісь OY розташовується в площині симетрії ЛА та спрямована до верхньої його частини.

Поперечна вісь OZ перпендикулярна площині симетрії ЛА та спрямована у правий його бік.

Осі зв'язаної системи координат, як правило, збігаються з головними осями інерції ЛА.

Швидкісна система координат OX_aY_aZ_a - це рухома система координат, швидкісна вісь OX_a якої збігається з напрямком вектора повітряної швидкості  (швидкість ЛА відносно повітряного середовища), вісь піднімальної сили OY_a розташовується в площині симетрії ЛА та спрямована до верхньої його частини, а бічна вісь OZ_a доповнює осі OX_a i OY_a до правої системи координат.

Траєкторна система координат OX_кY_кZ_к - це рухома система координат, вісь OX_к якої збігається з напрямком вектора земної швидкості  (швидкість ЛА відносно земної поверхні), а вісь OY_к спрямова­на уверх від поверхні Землі й лежить у вертикальній площині, яка про­­ходить крізь вісь OX_к. При відсутності вітру вісь OX_ктраєкторної системи кооринат сполучається з віссю OX_a швидкіс­ної системи координат.

Рівняння просторового руху літака

Рух літака у просторі визначається з урахуванням поступального руху центра мас й обертального руху відносно центра мас. При записуванні диференціальних рівнянь руху в проекціях на осі нерухомої системи координат виникають труднощі проектування сил і моментів, що діють на літак, на осі нерухомої системи координат. До того ж сильно ускладнюється подальший аналіз таких рівнянь. Тому в динаміці польоту віддають перевагу рівнянням руху, що записані в рухомих системах координат.

При отриманні рівнянь просторового руху приймаються такі припущення:

- літак являє собою абсолютне жорстке тіло з постійними інерційно-масовими характеристиками;

- осі зв'язаної системи координат збігаються з головними осями інерції, тобто, відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю;

- вектор тяги прикладений до центра мас і не створює додаткових моментів;

- Земля плоска, не обертається і не переміщується в інерціальному просторі, тобто не враховуються переносні та коріолісові сили й моменти;

- повітряне середовище нерухоме.

Рівняння руху літака як твердого тіла можуть бути одержані із законів збереження кількості та моменту кількості руху, які у векторній формі мають вигляд:

 ,                          (1.10)

де m - маса літака; - вектор повітряної швидкості; - вектор зовнішніх сил, діючих на літак;  - вектор моменту кількості руху;  - аеродинамічний момент.

Із векторного аналізу відомо, що похідна вектора  у нерухомій системі координат може бути подана як сума похідної вектора в рухомій системі координат  та векторного добутку кутової швидкості  обертання рухомої системи координат від­носно нерухомої на вектор :

.

Саме в такому вигляді векторні рівняння (1.10) проектують на осі рухомих систем координат.

Із урахуванням прийнятих припущень рух літака як твердого тіла з шістьма ступенями свободи описується шістьма рівняннями Ейлера з доповненням цих рівнянь сил і моментів кінематичними та геометричними співвідношеннями, а також рівняннями, які описують траєкторний рух центра мас літака. Додаткові рівняння дозволяють замкнути систему рівнянь, що описує просторовий рух літака:

Докладний вивід системи рівнянь, що описує просторовий рух літака, наведений в дод. 1.

У системі рівнянь просторового руху літака (1.11) перші три рівняння сил розкривають закон збереження кількості руху. Рівняння записані в траєкторній системі координат і визначають зміни швидкості польоту V , кута нахилу траєкторії Q і кута шляху Y під впливом тяги Р, сили ваги G і аеродинамічних сил: піднімальної сили Y_a, сили лобового опору Х_a, бічної сили Z_a .

При записуванні в траєкторній системі координат у рівняннях сил добре проглядається динаміка зміни параметрів польоту під дією аеродинамічних сил і, крім того, рівняння сил мають простий вигляд, оскільки вісь ОХ_к траєкторної системи координат збігається з вектором швидкості, а проекції вектора швидкості на осі ОY_к, ОZ_к дорівнюють нулю.

Наступні три рівняння системи розкривають закон збереження моменту кількості руху. Ці рівняння записані у зв'язаній системі координат і описують зміну швидкості обертання літака під впливом аеродинамічних моментів М_x, M_y, M_z .

Осі зв'язаної системі координат збігаються з головними осями інерції, тому рівняння моментів спрощуються, оскільки відцентрові моменти інерції I_xy , I_yz , I_zx дорівнюють нулю, і проекції моменту кількості руху на осі зв'язаної системи координат мають простий вигляд:

де I_x, I_y, I_z - осьові моменти інерції;  w_x, w_y, w_z - проекції вектора кутової швидкості обертання літака на осі зв'язаної системи координат.

Наступні три рівняння - це геометричні співвідношення для обчислення кута атаки a , кута ковзання b та швидкісного кута крену g_a , які необхідні для визначення сил, що діють на літак, у проекціях на осі траєкторної системи координат.

Геометричні співвідношення отримані шляхом прирівнювання мат­риці напрямляючих косинусів  прямого переходу від зв'язаної системи координат до швидкісної до добутку матриць  послідовного переходу від зв'язаної системи координат до нормальної і далі від нормальної до швидкісної. Така процедура може бути записана у вигляді матричного рівняння й ілюструється графом (рис. 1.7).

Кінематичні співвідношення доповнюють систему рівнянь до повної й описують зміну кутів крену g, тангажа J і рискання y. Кінематичні рівняння отримані шляхом запису проекцій швидкостей зміни кутів крену , тангажа  і рискання  ( проекцій кутової швидкості обертання зв`язаної системи координат навколо нормальної ) на осі зв'язаної системи координат у вигляді:

з подальшим розв`язанням отриманої системи рівнянь. Аналогічно для рівняння сил отримані проекції кутової швидкості обертання траєкторної системи координат навколо нормальної:

Останні три рівняння системи (1.11) необхідні для дослідження траєкторного руху літака. Крім цього, перше з останніх трьох рівнянь необхідне для виявлення функціональних залежностей аеродинамічних сил і моментів, а також тяги двигуна від густини повітря, яка змінюється з висотою польоту.

Щоб система рівнянь (1.11) була замкненою необхідно описати залежності аеродинамічних сил і моментів, а також тяги двигуна від параметрів польоту.

Загальна характеристика сил і моментів, що діють на літак

Розглядаючи залежність аеродинамічних сил і моментів від параметрів польоту, вважають:

            (1.12)

,

де  - коефіцієнт аеродинамічної піднімальної сили, який залежить від кута атаки a, швидкості польоту V та кута відхилення руля висоти d_в;  - коефіцієнт сили лобового опору;  - коефіцієнт аеродинамічної бічної сили, який залежить від кута ковзання b та кута відхилення руля направлення d_н; r = r(H)- густина повітря; S - площа крила;
m_x= m_x (b,w_x,w_y,d_н,d_е) - коефіцієнт аеродинамічного моменту крену; m_у= m_у (b,w_x,w_y,d_н,d_е) - коефіцієнт аеродинамічного моменту рискання, який залежить від кута ковзання b, кутової швидкості обертання літака w_x , w_y та кутів відхилення руля направлення d_ні елеронів d_е; m_z= m_z(V,a,,w_z,d_в) - коефіцієнт аеродинамічного моменту тангажа, який залежить від швидкості польоту, кута атаки a та швидкості його зміни , кута d_в; l- розмах крила; b_А - середня аеродинамічна хорда; d_с.г - відхилення сектора газу.

Залежність Р = Р(V, Н) має вигляд, проілюстрований рис.1.8, і описує висотно-швидкісні характеристики авіаційного двигуна.

Зі збільшенням висоти польоту витрата повітря G_пов крізь двигун зменшується. Це спричиняє зменшення тяги Р. У діапазоні висот від 0 до 11 км внаслідок зменшення температури тяга падає менш інтенсивно (зменшуються витрати енергії на роботу стиснення в компресорі). Починаючи з 11 км, температура повітря залишається постійною, тому інтенсивність падіння тяги двигуна зростає.

Характер зміни тяги Р = Р_пит G_пов від швидкості польоту V визначається відповідними змінами питомої тяги Р_пит і витрати повітря G_пов. Зі збільшенням швидкості польоту Р_пит  »  С_с  ^_ V зменшується, оскільки швидкість виходу газу з реактивного сопла С_счерез зниження ступеню підігріву в камері згорання збільшується повільніше, ніж зростає швидкість польоту V. При наближенні до деякої крайньої швидкості польоту Р_пит прагне до нуля. Витрата повітря G_пов при збільшенні швидкості польоту збільшується. Але на малих швидкостях, коли стисливість повітря виявляється незначно, збільшення G_пов невелике, тому тяга Р = Р_пит G_пов через зменшення Р_пит може знижуватися. На великих швидкостях, коли витрата повітря починає інтенсивно збільшуватися, тяга зростає. Однак після певної швидкості зменшення Р_пит починає перевищувати збільшення G_пов і тяга швидко падає.

Залежність Р = Р(d_с.г ) описує закон зміни тяги двигуна від положення сектора газу.

Найбільш істотні залежності коефіцієнтів аеро­дина­мічних сил і моментів такі:

Залежність   характеризує зміну аеродинамічної піднімальної сили від кута атаки, яка залежить від розподілу коефіцієнтів тиску вздовж поверхні крила. При безвідривному обтіканні профілю крила

,

При виникненні зриву потоку з верхньої поверхні крила
(a = a_п.з) л­і­нійна залежність  порушується, а, коли a  досягає критичного значення (a = a_кр), подальше збільшення кута атаки супроводжується спаданням коефіцієнта аеродинамічної піднімальної сили .

Залежність  характеризує зміну коефіцієнта аеродинамічної піднімальної сили від стисливості повітря. На рис. 1.10 зображена залежність похідної  від числа Маха – числа M польоту. На малих швидкостях стисливість повітря практично не впливає на характер розподілу тиску вздовж профілю крила, тобто  не змінюється. При
М = М_кр на верхній поверхні крила виникає місцевий стри­бок згущення повітря, й за рахунок додаткового зменшення тиску понад кормовою частиною верхньої поверхні крила  починає інтенсивно збільшуватись. Пізніше з’яв­ля­ється надзвукова зона течії на нижній поверхні крила, що декілька компенсує зрос­т­ан­ня коефіцієнта .

Над­звукова зона на нижній поверхні крила швидко досягає задньої крайки крила (нижня поверхня більш плоска ніж верхня), коефіцієнт  знову по­чинає зростати. При М > 1профіль крила вже обтікається надзвуковим потоком без місцевих стрибків згущення повітря. Збільшення числа М надзвукового потоку призводить до зменшення коефіцієнта  через втрату повного тиску на головному стрибку згущення.

Залежність  характеризує зміну коефіцієнта лобового опору

при зміні кута атаки та швидкості польоту. Тут - коефіцієнт сили лобового опору при нульовій піднімальній силі характеризує профільний опір (опір сили тертя), який не залежить від швидкості польоту, і хвильовий опір стрибків згущення повітря, які виникають при М > М_кр ( рис. 1.11) і збільшують коефіцієнт . При
М > 1 місцеві стрибки згущення повітря зникають, а подальше збільшення швидкості польоту призводить до зменшення кута нахилу лінії Маха головного стрибка згущення (він притискується до профілю крила), внаслідок чого хвильовий опір зменшується. Складова  характеризує індуктивний опір крила кінцевого розмаху, який спричиняється скосом потоку з крила та відхиленням вектора піднімальної сили від нормалі до набіжного потоку; А - коефіцієнт індуктивності, який до М = М_кр не змінюється, подальше збільшення числа М викликає приріст коефіцієнта А. Зміна піднімальної сили при зміні кута атаки та швидкості польоту впливає на індуктивний опір крила.

Залежності ,  характеризують додаткові зміни піднімальної та бічної сили літака з урахуванням сил вертикального та горизонтального оперення при відхиленнях органів управління.

Залежність m_z(a) характеризує поздовжню статичну стійкість літака з перевантаження. Коефіцієнт аеродинамічного моменту тангажа (без урахування демпфірування)

,                    (1.13)

де - коефіцієнт аеродинамічного моменту тангажа при = 0;

x_т - координата центра мас літака; x_F - координата аеродинамічного фокуса F .

Узявши похідну від m_z за a, отримаємо:

.

Залежності m_z(w_z), m_x(w_x), m_y(w_y) характеризують власні аеродинамічні демпфіруючі моменти тангажа, крену та рискання, які гасять кутові коливання літака. При обертанні літака його частини обтікаються додатковим повітряним потоком. Цей потік змінює місцеві кути атаки та ковзання, що викликає додаткові аеродинамічні сили, які відносно центра мас створюють демпфіруючі моменти. Демпфіруючі моменти діють тільки при наявності кутової швидкості й спрямовані у бік, протилежний обертанню.

У літаків нормаль­ної схеми демпфіруючі моменти створюються головним чином горизонтальним і вертикальним опереннями (г.о і в.о). Рис.1.14,а ілюструє створення демпфіруючого моменту тангажа M_z(w_z). Тут , ,  – відповідно прирости піднімальних сил горизонтального оперення, передньої та задньої частин фюзеляжу, які створюються за рахунок зміни місцевих кутів атаки. Місцеві кути атаки елементів конструкції літака виникають за рахунок приросту лінійних швидкостей цих елементів при обертанні літака навколо поперечної осі ОZ.

При обертанні літака навколо поздовжньої осі ОХ (рис. 1.14,б) демпфіруючий момент створюється крилом. У крила, що опускається, піднімальна сила за рахунок збільшення місцевих кутів атаки вздовж розмаху крила зростає, у крила, що підіймається, піднімальна сила зменшується. Це викликає аеродинамічний момент крену M_x(w_x), спрямований проти кутової швидкості w_x.

Залежність  характеризує демпфіруючий момент тангажа, що обумовлюється запізненням скосу потоку. При створенні піднімальної сили крило відкидає повітряний потік униз зі швидкістю V_y, внаслідок чого вектор швидкості повертається на кут скосу потоку e . Піднімальна сила горизонтального оперення, яке обтікається цим потоком (рис.1.15), визначається як .

Залежність m_z(V) характеризує поздовжню статичну стійкість літака з швидкості. Аналізуючи формулу (1.13), відмітимо:

.

Залежність коефіцієнта аеродинамічного моменту тангажа від швидкості польоту виявляється, в основному, на надзвукових швидкостях і визначається зміною положення аеродина­мічного фокуса при М > 1, а також залеж­ностями  і . Залеж­­ність m_z = f(М) проілюстрована на рис. 1.16.

У статично стійкого зі швидкості літака збільшення швидкості викликає приріст піднімальної сили без порушення балансування за моментами, які створюються крилом і стабілізатором. Приріст піднімальної сили викликає вертикальну швидкість, і траєкторія польоту буде викривлюватися вверх. Почне збільшуватись кут нахилу траєкторії з одночасним зменшенням кута атаки, що в свою чергу викликає у статично стійкого з перевантаження літака кабрируючий момент, який збільшує кут тангажа й припиняє зменшення кута атаки. Літак переходить у кабрирування, при цьому з’являється складова сили ваги, яка діє проти сили тяги й відновлює початкову швидкість.

У статично нестійкого зі швидкості літака на числах М > 1 при збільшенні швидкості аеродинамічний фокус зміщується назад і приріст піднімальної сили викликає пікіруючий момент. Літак затягу­єть­ся в пікірування і починає зменшувати кут нахилу траєкторії, а скла­до­ва сили ваги у цьому випадку додатково збільшує швидкість польоту.

Залежність m_y(b) характеризує шляхову (флюгерну) статичну стійкість літака і визначається в основному характеристиками вертикального оперення та його відстанню до центра мас літака. Момент шляхової стійкості M_y(b) викликається поперечною силою Z(b) ( рис. 1.17), яка виникає при ковзанні літака і точка прикладання якої у статично стійкого у шляховому відношенні літака розташовується поза центром мас. У цьому випадку момент шляхової стійкості M_y(b) утримує літак наче флюгер у повітряному струмі.

Залежність m_x(b) характеризує поперечну статичну стійкість літака й визна­чається ( рис.1.18 ) затінком пів­кри­ла фюзеляжем, а також силою Z_во, яка ви­ни­­кає при несиметрично­му обтіканні вертикаль­но­го оперення, і точка прик­ла­дання якої роз­міщується вище центра мас літака. Крім того m_x(b) залежить від поперечного ”V” та стрілоподібності крила, ос­кільки за раху­нок ковзання змі­нюється фактична стрілоподіб­ність півкрила.

 Залежність m_x(w_y) характеризує спіральний момент крену. При обертанні літака навколо нормальної осі ОY ( рис. 1.19) змінюються місцеві швид­кості вздовж роз­маху крила. Одне пів­крило, що рухається на­зу­стріч повітряному потоку, придбає, а друге втрачає прирости лінійної швидкості DV_x. Це супроводжується зміною піднімальної сили півкрил на величину DY_a і появою моменту М_x(w_y), який нахиляє літак у бік розвороту. Вертикальне опе­рення також бере участь у створенні спі­рального моменту, тому що при обертанні літака змінюється міс­ц­евий кут ковзання вертикального оперення й виникає сила Z_во, точка прикладання якої розташовується вище поздовжньої осі.

Залежність m_y(w_x) характеризує спіральний момент рискання. Визначається двома факторами. З одного боку, при обертанні літака з кутовою швидкістю w_x ( рис. 1.20) вздовж розмаху крила змінюються кути атаки й піднімальні сили півкрил (у крила, що опускається, вона збільшується), як наслідок змінюються поздовжні сили півкрил Х » Х_a - – Y_asin a (у крила, що опускається, вона зменшується), з'являється момент, який розвертає літак у бік крила, що підіймається. З іншого боку вертикальне оперення при обертанні літака з кутовою швидкістю w_x обтікається додатковим повітряним потоком, що в свою чергу викликає поперечну силу Z_в.о і момент М_y, який розвертає літак у бік крила, що опускається. Спів­від­ношення цих двох момен­тів обумовлює знак спі­рального моменту рис­кан­ня. На великих кутах атаки вертикальне оперен­ня заті­нюється і головну роль відіграє момент від зміни поздовжніх сил півкрил, а на малих кутах атаки цей момент незначний і визначну роль відіграє момент вертикального оперення.

Залежності m_z(d_в), m_x(d_е), m_y(d_н) характеризують ефективність руля висоти, елеронів і руля направлення відповідно.

Залежності m_x(d_н), m_y(d_е) характеризують перехресний вплив органів управління бічним рухом.