Дифференцируемость функции в точке.

ОпределениеФункция y=f(x) называется дифференцируемойв точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемав точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A .

Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Теорема

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство

Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣ непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная линейной функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная логарифма.

Правила вычисления производных

Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

3. Производная произведения.

4. Производная частного.

 5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

и имеют производные соответственно в точках и . Тогда

Теорема

(О производной обратной функции)

Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, то обратная функция имеет производную в точке , причем .

Производная линейной функции

Формула

Производная линейной функции равна константе, стоящей возле переменной .

Следствие

Согласно правилам дифференцирования, константу можно выносить за знак производной, то есть

По таблице производных производная независимой переменной равна единице:

В более общем случае, когда имеем выражение , вместо просто , поступаем следующим образом. Как известно, согласно свойствам производной, производная от суммы равна сумме производных, поэтому

В первом слагаемом выносим константу за знак производной, и производная от константы равна нулю:

Итак, окончательно имеем, что

Производная логарифма

Формула

Производная логарифмической функции по основанию равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

Напомним, что есть специальные обозначения для логарифмов:

· Десятичный логарифм, - это логарифм по основанию 10, то есть ;

· Натуральный логарифм, - это логарифм по основанию , то есть .