Второй замечательный предел

1

Второй замечательный предел:

Следствия из второго замечательного предела

1°

2°

3°

4°

5°

6°

Непрерывность функции. Точка разрыва первого и второго рода.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение точки разрыва

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пусть заданы две функции и , непрерывные на некотором множестве . Сумма, произведение и частное (при условии, что ) является также непрерывной функцией на рассматриваемом множестве.

Пусть функция задана на множестве , а - множество значений этой функции. Пусть на множестве задана функция , которая называется композицией функций (или сложной функцией) .

Теорема

Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция этих функций непрерывна в точке .

Теорема

Если функция является непрерывной и строго монотонной на отрезке , которые лежит на оси абсцисс, то и обратная функция также непрерывна и монотонна на некотором отрезке оси ординат. Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Понятие производной. Геометрический и механический смысл.

Понятие производной

Пусть задана некоторая функция . Возьмем какое-нибудь значение из области определения этой функции: . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно .

Приращение аргумента и функции

Определение

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как .

Приращением функциив точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина:

Определение производной

Определение

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента : при , если он существует, то есть:

или

Дифференцируемость и непрерывность.

Дифференцирование функции

Определение

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.

Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где - число, не зависящее от , - б.м. функция при .

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда

Следовательно, при x → a.

Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.

Рис. 8. Непрерывная в точке a функция не является дифференцируемой в этой точке