Правила дифференцирования. Производная обратной функции. Производная степенной и показательной функции. Логарифмическое дифференцирование.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

тогда

Используя производную степенной функции:

будем иметь:

Производная степенно-показательной функции

Определение

Степенно-показательной функцией (или показательно-степенной, или функцией в степени функция) называется функция вида

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

Ый способ

Применяя формулу:

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

Замечание

Порядок следования слагаемых неважен: можно вначале взять производную от показательной функции, а затем как от степенной, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется:

Задание. Найти производную функции

Решение. Применяем формулу. В рассматриваемом случае

Тогда имеем:

Ответ.

Ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

Пример задание. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.

Решение. Прологарифмируем левую и правую часть заданной функции, будем иметь:

По свойствам логарифмов в правой части полученного равенства степень подлогарифмической функции выносим перед логарифмом:

Дифференцируем левую и правую часть равенства. Слева берем производную как от сложной функции(так как - это функция от переменной ), а справа - как производную произведения:

А тогда

Ответ.

Ий способ

Представим функцию в следующем виде (используются свойства логарифмов):

Тогда

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Представляем функцию в следующем виде:

Далее находим производную, от экспоненты берем производную как от сложной функции (см.производные сложных функций):

Ответ.

Логарифмическое дифференцирование

Для функций вида для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что является функцией от , то есть найдемпроизводную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

Таким образом, получаем, что логарифм заданной функции равен:

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что является функцией переменной :

Итак,

Отсюда

Подставляя вместо функции ее выражение, окончательно будем иметь, что

Ответ.