Левый и правый пределы функции

Определение

Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют и , причем , то существует и . Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то предел не существует.

Свойства пределов функции

1° Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

2° Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3° Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

4° Константу можно выносить за знак предела:

5° Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Числовые последовательности и их пределы.

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

Определение

Целой частью некоторого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность имеет бесконечный предел, если для любого

Последовательность называется бесконечно малой, если

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого существует номер такое, что для любого

Теорема

Пусть , тогда

а) ;

б) ;

в) если , то начиная с некоторого номера заданная последовательность

Бесконечно малые величины.

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если

Основные свойства бесконечно малых функций

1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Теорема

Пусть - предел функции в точке : . Тогда заданную функцию можно представить в виде , где - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Замечательные пределы. Число е. Следствия из 2-го замечательного предела.

1

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия из первого замечательного предела

1°

2°

3°

4°

Число е

1

Определение

Число е - математическая константа, являющаяся трансцендентным числом. Чаще всего называется числом Эйлера, реже - числом Непера.

Трансцендентное число - это число, которое не может быть корнем полинома с целыми коэффициентами.

Число е является основанием натурального логарифма:

Данное число есть предел выражения при условии, что стремится к бесконечности:

- второй замечательный предел.

Примечание

Способ помнить число е простой - два, семь, дважды Лев Толстой.

P.S. Лев Николаевич Толстой родился в 1828 году.