Монотонные и ограниченные функции. Четные и нечетные. Периодические функции. Сложная и обратная функция.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из условия x₂> x₁ следует f ( x₂) > f ( x₁ ), то функция f ( x )называется возрастающей; если для любых x₁ и x₂ из условия x₂> x₁ следует f ( x₂) < f ( x₁), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f ( x) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

П р и м е р ы .

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. ( Объясните это, пожалуйста ! ).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x = a, если :

1) функция определена при x = a, т.e. f ( a ) существует;

2) существует конечный предел lim f ( x ) ;

x→a

( см. раздел «Пределы функций» в главе «Основы анализа» )

3) f ( a ) = lim f ( x ) .

x→a

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a.

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( - x ) = - f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).

Периодическая функция. Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е . Мы знаем, что sin ( x+ 2 n ) = sin x, где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не

меняет его значениe. Существует ли другое число с таким

же свойством ?

Предположим, что P – такое число, т.e. равенство:

sin ( x+ P ) = sin x,

справедливо для любого значения x. Но тогда оно имеет

место и при x = / 2 , т.e.

sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P. Тогда

из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

знаем, что это верно лишь при P = 2 n. Так как наименьшим

отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число

и есть период sin x. Аналогично доказывается, что 2

является периодом и для cos x .

Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .

П р и м е р 2. Какое число является периодом функции sin 2x ?

Р е ш е н и е . Рассмотрим sin 2x = sin ( 2x + 2 n ) = sin [ 2 ( x + n ) ] .

Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет

значение функции. Наименьшее отличное от нуля число

из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей.Например, функция y = x ( x + 1 ) ( x-3 ) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.