Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Производные и дифференциалы высших порядков
Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:
Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n,называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6). Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница (u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) = = Sk = 0nCnku(n-k)v(k), где Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v. Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции. Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex, v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)'+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)'', так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89) Рассмотрим выражение для первого дифференциала dy = f'(x)dx. Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию. Определение 6 (дифференциал второго порядка).Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y. Таким образом, d2y = d (dy)|d x = dx. Дифференциал dny можно ввести по индукции. Определение 7.Значение d(dn-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dny. Найдем выражение для d2y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = f (t), то есть является функцией переменнойt. 1. пусть x = f (t), тогда d2 = d (dy)|d x = dx = d (f'(x)dx)|d x = dx = = {d (f'(x))dx+f'(x)d(dx)}|d x = dx = f''(x)(dx)2+f'(x)d2x. Итак,
2. пусть x - независимая переменная, тогда d2y = f''(x)(dx)2, так как в этом случае d(dx) = (dx)'d x = 0. Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная: dny = f(n)(x)(dx)n. Из этой формулы следует, что f(n) = dny/(dx)n. В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).
Производные высших порядков. |
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-31; просмотров: 410. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |