Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Производная показательно-степенной функции
Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении производной показательно-степенной (или степенно-показательной) функции или "функции в степени функция", то есть в случае, когда заданная функция имеет вид . Логарифмируем левую и правую часть: далее по свойствам логарифма Тогда Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой - как производную произведения: Пример Задание. Найти производную функции Решение. Применим логарифмическое дифференцирование: Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь: Отсюда получаем, что Ответ. 30. Правила дифференцирования. Производные тригонометриче
Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства. Инвариантность. Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. ПриращениеD y ее представимо в виде D y = f'(x)D x +a (D x) D x, где первое слагаемое линейно относительно D x, а второе является в точке D x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем D x. Если f'(x)¹ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения D y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента D x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю. Определение 5 (дифференциал).Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f'(x)d x. Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:
Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x, то есть dy = KN. Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x. Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной. 1. d c = 0; 2. d(c u(x)) = c d u(x); 3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x); 4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x); 5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x). Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du, так как u'dx = du. То есть
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала. Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = D x, а в формуле (5) duяляется лишь линейной частью приращения функции u. 41 |
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-31; просмотров: 828. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |