Способы и алгоритмы построения функций Ляпунова

Энергетический метод

Применяется для системы второго порядка. Рассмотрим систему

(1)

где , ,  непрерывны,  --- положительные постоянные и ,  при ,  при ,  при , где , , .

В качестве механической модели можно взять движение системы  материальных точек  с массой , в которой точка  подвергается действию сил , выражающие влияние других точек  этой системы на точку .

Тогда можно дать механическую интерпретацию. Функцию  составим как полную энергию системы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим

Очевидно, что эта функция определенно положительная.Найдем производную функции  в силу системы (1), получим  (2)

Так как члены  определяют силы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергия системы убывает, а значит, соображений производная (2) знакоотрицательная.

Метод Малкина

Рассмотрим уравнение

Соответствующая линейная система имеет вид (4)                 

Для нее может быть построена функция Ляпунова причем .

Замечаем теперь, что  не содержит в своей записи параметра , поэтому эта же функция пригодна для исследования системы

но непригодна для системы(4).Чтобы получить функцию Ляпунова для системы(4), необходимо найти аналог члена  в записи . Но с точки зрения механики величина  (или  характеризует восстанавливающую силу, а величина  соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы (4) функцию

(5)Очевидно, получим в силу системы (4)

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

(1)

Функция Ляпунова строится в виде , где симметричная матрица  подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

(2) удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы (1)

Таким образом, получим  и .

Градиентный метод

Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме где

Функции  подбираются из условия отрицательности  и из требования, чтобы векторное поле  было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия . После того как найден градиент  сама функция  определяется как криволинейный интеграл

Также существуют методы деления переменных, Уокера – Кларка.

Способы и алгоритмы построения ВФЛ и СС