Устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости.

Задача об устойчивости движения

Система дифференциальных уравнений возмущенного движения

(f удовлетворяет условиям существования, единственности и нелокальной продолжимости решений, непрерывной зависимости от начальных данных (и времени t)

У Маликова написано так:

Из инета.Определение (устойчивости по Ляпунову)Невозмущенное движение x=0 системы называется устойчивым по Ляпунову относительно величин x=(x1,…,xN)^T, если для любого числа ε > 0, сколь бы мало оно не было, существует число δ(ε,t0)>0 такое, что при начальных возмущениях x(t0), удовлетворяющих условию || x0|| < δ, (1.23) и при всех t ≥ t0 будет выполняться неравенство || x(t) || < ε. (1.24) В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым

Теоремы Ляпунова об устойчивости

Теорема 1.Для устойчивости (соответственно устойчивости, равномерной по t0 )невозмущенного движения x=0 системы (1,1) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области Г1 существовала непрерывно дифференцируемая определенно положительная (соответственно и допускающая бесконечно малый высший предел) функция v(t,x), производная которой в силу (1.1) постоянно отрицательна

Теорема 2.Для равномерной асимптотической устойчивости решения x=0 системы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области Г1существовала непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция v(t,x), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой в силу системы (1.1) определенно отрицательна.