Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Решение называется устойчивым, если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д.

Постановка задачи. Система дифференциальных уравнений возмущенного движения

(f удовлетворяет условиям существования, единственности и нелокальной продолжимости решений, непрерывной зависимости от начальных данных (и времени t) в области Г ). Невозмущенное движение х=0.

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x₀, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Теорема. Для равномерной асимптотической устойчивости решения x=0 системы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области Г1существовала непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция v(t,x), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой в силу системы (1.1) определенно отрицательна.

Дополнение. Устойчивость по Ляпунову.Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t₀ и не зависящее от t, такое, что для всякого x₀, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t₀) = x₀ продолжается на всю полуось t > t₀ и удовлетворяет неравенству .

Функция Ляпунова. Пусть дана система возмущенного движения, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений:

При этом определены и непрерывны в области (где некоторая положительная постоянная) и обращаются в начале координат в ноль.Функцией Ляпунова называется некоторая функция принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

1) Функция однозначная2) 3) Непрерывная вместе со своими частными производными

Метод вектор-функций Ляпунова – Матросова.

Метод сравнения в математической теории систем и теории управления