Математические модели систем автоматического управления в пространстве состояний

Термин пространства состояний получил широкое распространение в ТАУ для описания динамики систем во временной области. Применение этого метода в ТАУ было определено работами Понтрягина, Беллмана (метод динамического программирования), Калмана. Метод пространства состояний обладает рядом преимуществ при решении задач многомерных и сложных систем:четкая формализация в постановке различных задач в управлении;возможность решения задач с большим числом управляемых и управляющих переменных;простота алгоритмизации вычислительных процедур;ясность (наглядность) математических формулировок при решении задач.

В методе пространства состояний динамика системы представляется зависимостью между тремя множествами переменных u(t), y(t), x(t). Вход системы выражается либо множеством временных функций u(t), либо множеством временных последовательностей для дискретных систем u(kT). Выход системы y(t) представляет собой описание непосредственно наблюдаемого поведения системы.

Основное свойство любой динамической системы заключается в том, что ее поведение в любой момент времени зависит не только от переменных действующих на нее в данный момент времени (от пары u(t), y(t)), но и от переменных действующих на нее в прошлом (u0(t), y0(t) ), т.е. система обладает памятью, позволяющей учитывать вклад переменной, действующей на нее в прошлые моменты времени до наблюдения ее поведения. В пространстве состояний координатами вектора состояний xявляются переменные системы уравнений, записанные в нормальной форме Коши. (Описание системы дифференциальных уравнений 1-ого порядка называется описанием в нормальной форме Коши). Число векторов определяет порядок системы при этом координаты вектора состояний необязательно соответствуют реальным физическим величинам. Описание системы в нормальной форме Коши является первичной моделью в системе пространства состояний.

В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t), вход объекта (сиг нал управления) – через u(t).

Тогда модель может быть записана в виде

Модель связывает вход u(t) и вектор состояния x(t) , поэтому она называется моделью вход-состояние. Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) : (1).

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Система имеет m входов u(t), I выходов y(t), n состояний x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D — числовые матрицы соответствующей размерности nxn, nxm, Ixn, Ixm, гдкI-ед-ая матрица. Матрица А -матрица динамики системы, В - матрица входа, С - матрица выхода, D- матрица усиления по входу. Вся информация о свойствах системы содержится в числовых таблицах – матрицах параметрах.

С помощью модели (1), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить. Запись моделей в единой форме (1) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.