IV. Подвійний векторний добуток.

1. Поняття подвійного векторного добутку.

Означення. Подвійним векторним добутком трьох векторів  називається векторний добуток двох векторів вектора  і вектора : .

Алгебраїчні властивості подвійного векторного добутку є наслідками алгебраїчних властивостей векторного добутку.

Існує зв’язок між подвійним векторним добутком і лінійними операціями над векторами. Цей зв’язок здійснюється за формулою

Доведення. (Довести цю формулу)

Поняття лінійного простору.

Означення 1. Говоритимемо, що у множині М визначена внутрішня бінарна алгебраїчна операція, якщо будь-якій упорядкованій парі елементів  за деяким правилом ставиться у відповідність однозначно визначений елемент zϵM.

Означення 2. Говоритимемо, що в множині M визначена зовнішня операція над множиною P, якщо будь-якій парі елементів  ставиться у відповідність однозначно визначений елемент множини М.

Операція додавання векторів (геометричних) відноситься до внутрішніх операцій і операція множення геометричного вектора на число є прикладом зовнішньої операції, визначеної в множині геометричних векторів над множиною дійсних чисел.

Означення 3.    Векторним або лінійним простором називається непорожня множина V, в якій визначено дві операції над множиною дійсних чисел: внутрішня, що умовно називається додаванням, і зовнішня, що умовно називається множенням на дійсне число, і виконується 8 умов:

1.  – комутативність додавання.

2.  – асоціативність додавання.

3.  ( x).

4.  – для довільного елемента існує протилежний до нього.

5.  – серед множини дійсних чисел є таке, що не змінює у добутку вектор.

6.

7.

8.

Означення 4.    Елементи множини V, що є векторним простором, називаються векторами.

Приклад 1. Всі геометричні вектори простору (площини) утворюють векторний простір відносно традиційних операцій додавання геометричних векторів і множення вектора на число. Дійсно, виконання всіх вимог означення 3було обґрунтовано у векторній алгебрі.

Приклад 2. (арифметичний простір)

За множину V візьмемо множину всіх упорядкованих  чисел.

Числа  назвемо компонентами вектора.

Cумою векторів  і  назвемо вектор, утворений сумою відповідних компонент: .

Добутком вектора  на число  назвемо вектор .

Можна показати за означенням, що арифметичний простір є лінійним простором.

Контрприклад.За множину V візьмемо ту ж саму множину, що у прикладі 2. Операцію додавання введемо за тим же правилом. Операцію множення на число введемо іншим чином, а саме: добутком вектора  на число  назвемо вектор .

В цій множині не виконується лише вимога 7.

Бачимо, , отже ця множина не є лінійним простором.

Приклад 3. Розглянемо множину многочленів степеня не вищого за .

Операції додавання многочленів та множення на число вводиться традиційним способом.

Легко перевірити виконання всіх вимог означення, тому дана множина є векторним простором відносно введених операцій.

Контрприклад.Розглянемо множину многочленів лише -го степеня, тобто таких, коефіцієнт при старшому члені яких ненульовий.

У цьому випадку множина не є векторним простором, тому що в цій множині не визначена операція додавання.

Дійсно, наведемо два многочленів, сума яких не є многочленом -го степеня:

Наприклад, сума  та  є многочленом 1-го степеня.

Приклад 4.                 Розглянемо множину всіх функцій, що визначені на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. При цьому також виконуються всі вимоги означення векторного простору, тому дана множина відносно введених операцій є векторним простором.

Приклад 5.                 Розглянемо множину всіх функцій, що є неперервними на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. Легко переконатися, що при цьому виконуються всі інші 8 вимог означення векторного простору. Тому множина таких функцій відносно введених операцій є векторним простором.