Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
IV. Подвійний векторний добуток.
1. Поняття подвійного векторного добутку. Означення. Подвійним векторним добутком трьох векторів називається векторний добуток двох векторів вектора і вектора : . Алгебраїчні властивості подвійного векторного добутку є наслідками алгебраїчних властивостей векторного добутку. Існує зв’язок між подвійним векторним добутком і лінійними операціями над векторами. Цей зв’язок здійснюється за формулою Доведення. (Довести цю формулу) Поняття лінійного простору. Означення 1. Говоритимемо, що у множині М визначена внутрішня бінарна алгебраїчна операція, якщо будь-якій упорядкованій парі елементів за деяким правилом ставиться у відповідність однозначно визначений елемент zϵM. Означення 2. Говоритимемо, що в множині M визначена зовнішня операція над множиною P, якщо будь-якій парі елементів ставиться у відповідність однозначно визначений елемент множини М. Операція додавання векторів (геометричних) відноситься до внутрішніх операцій і операція множення геометричного вектора на число є прикладом зовнішньої операції, визначеної в множині геометричних векторів над множиною дійсних чисел. Означення 3. Векторним або лінійним простором називається непорожня множина V, в якій визначено дві операції над множиною дійсних чисел: внутрішня, що умовно називається додаванням, і зовнішня, що умовно називається множенням на дійсне число, і виконується 8 умов: 1. – комутативність додавання. 2. – асоціативність додавання. 3. ( x). 4. – для довільного елемента існує протилежний до нього. 5. – серед множини дійсних чисел є таке, що не змінює у добутку вектор. 6. 7. 8. Означення 4. Елементи множини V, що є векторним простором, називаються векторами. Приклад 1. Всі геометричні вектори простору (площини) утворюють векторний простір відносно традиційних операцій додавання геометричних векторів і множення вектора на число. Дійсно, виконання всіх вимог означення 3було обґрунтовано у векторній алгебрі. Приклад 2. (арифметичний простір) За множину V візьмемо множину всіх упорядкованих чисел. Числа назвемо компонентами вектора. Cумою векторів і назвемо вектор, утворений сумою відповідних компонент: . Добутком вектора на число назвемо вектор . Можна показати за означенням, що арифметичний простір є лінійним простором. Контрприклад.За множину V візьмемо ту ж саму множину, що у прикладі 2. Операцію додавання введемо за тим же правилом. Операцію множення на число введемо іншим чином, а саме: добутком вектора на число назвемо вектор . В цій множині не виконується лише вимога 7. Бачимо, , отже ця множина не є лінійним простором. Приклад 3. Розглянемо множину многочленів степеня не вищого за . Операції додавання многочленів та множення на число вводиться традиційним способом. Легко перевірити виконання всіх вимог означення, тому дана множина є векторним простором відносно введених операцій. Контрприклад.Розглянемо множину многочленів лише -го степеня, тобто таких, коефіцієнт при старшому члені яких ненульовий. У цьому випадку множина не є векторним простором, тому що в цій множині не визначена операція додавання. Дійсно, наведемо два многочленів, сума яких не є многочленом -го степеня: Наприклад, сума та є многочленом 1-го степеня. Приклад 4. Розглянемо множину всіх функцій, що визначені на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. При цьому також виконуються всі вимоги означення векторного простору, тому дана множина відносно введених операцій є векторним простором. Приклад 5. Розглянемо множину всіх функцій, що є неперервними на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. Легко переконатися, що при цьому виконуються всі інші 8 вимог означення векторного простору. Тому множина таких функцій відносно введених операцій є векторним простором.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 249. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |