Доведення. (навести доведення)

З означення скалярного добутку і отриманої формули випливає:

1)

2)

II. Векторний добуток

1. Поняття векторного добутку

Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.

Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається правою, якщо з кінця останнього вектора поворот від першого до другого спостерігається проти годинникової стрілки, якщо ж за годинниковою, то трійка векторів називається лівою.

Тепер можна ввести поняття векторного добутку.

Означення 2. Векторним добутком векторів  і  називається вектор, що умовно позначається через  і задовольняє умови:

1)  (  – кут між векторами  і );

2) вектор  є ортонормованим і до вектора , і до вектора .

3) трійка векторів , ,  є правою.

2. Геометричні та алгебраїчні властивості векторного добутку.

Геометричні властивості пов’язані з векторним добутком містять дві наступні теореми.

Теорема 1. (про геометричний зміст довжини векторного добутку).

Довжина векторного добутку дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними.

Доведення. (навести доведення).

Теорема 2. Для того щоб два вектори були колінеарними необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору.

Доведення. (навести доведення).

Розглянемо алгебраїчні властивості векторного добутку:

1)  (антикомутативність);

2) ;

3)  (дистрибутивність);

4) .

Доведення. (навести доведення).

Рекомендації щодо доведення дистрибутивності векторного добутку.

Крім доведення, поданого в основному підручнику [1] (література, навчально-методична), можна запропонувати більш геометричне доведення [9]. Наведемо його.

Отже треба довести, що .

Ця рівність очевидна, коли принаймні один з векторів нульовий.

Нехай тепер усі вектори ненульові. Проведемо спочатку доведення, в окремому випадку, коли . Для цього опишемо геометричну побудову вектора . До довільної точки O простору прикладемо вектори  і . Через точку O проведемо площину перпендикулярну :

Спроектуємо точку А на площину, отримаємо вектор . Повернемо  в площині за годинниковою стрілкою на кут , отримаємо вектор . Доведемо, що вектор . Насправді ці вектори мають однакову довжину, тому що

,

.

Доведемо, що ці вектори однаково напрямлені. Вектор  є перпендикулярним до площини векторів  і  (до  на основі теореми про три перпендикуляри, до  за означенням перпендикулярності прямої та площини). Вектор  є також перпендикулярним до векторів  і  за означенням. Отже вектори  і  перпендикулярні до однієї площини, а тому колінеарні. Залишилося довеси, що вони однаково напрямлені. Це випливає з того, що за побудовою поворот від вектора  до вектора  спостерігається з кінця вектора  проти годинникової стрілки. Тому трійка векторів , ,  є правою. Трійка векторів , ,  є також правою за означенням векторного добутку.

Перейдемо до доведення рівності .

Прикладемо до точки О вектори , , , . За правилом трикутника побудуємо вектор . Спроектувавши точки А і В, отримаємо вектори . Повернемо їх в площині на кут  за годинниковою стрілкою. Отримаємо вектори .

За означенням додавання векторів маємо . Але з наведеної вище конструкції випливає, що

. А тому з попередньої рівності випливає:

.

Доведемо дистрибутивність в загальному випадку. Для цього подамо , де  – вектор одиничної довжини того ж напряму, що і . Тоді можна записати

,

що і треба було довести.

3. Вираз координат векторного добутку через координати векторів.

Нехай вектори  і  в ортонормованому базисі  мають розкладання .

Треба знайти координати вектора .

Для того щоб це зробити, треба попередньо скласти таблицю множення

Доведення таблиці множення (навести доведення).

Використовуючи таблицю множення, доведемо, що розкладання вектора  в базисі  має вигляд:

Доведення (навести доведення).

III. Мішаний добуток.

1. Поняття мішаного добутку

Означення 1. Мішаним добутком трьох векторів , ,  називається скалярний добуток двох векторів векторного добутку  і вектора : .

2. Геометричні та алгебраїчні властивості.

Теорема 1 (про геометричний зміст мішаного добутку). Мішаний добуток векторів , ,  дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , зведених до спільного початку, зі знаком (+), якщо трійка векторів , ,  – права, і зі знаком (-), якщо вона ліва.

Доведення (навести доведення).

З цієї теореми можна отримати наслідок.

Наслідок. Для того щоб три вектори  були компланарними необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю.

Наслідком теореми 1 є також така алгебраїчна властивість

(Навести доведення цієї властивості).

Оскільки з доведеної рівності виходить, що квадратні дужки можна поставити будь-як, то домовились позначати мішаний добуток так .

Що стосується інших алгебраїчних властивостей, то є наслідками скалярного і векторного добутку.

Наприклад, можна довести, що

(Навести доведення)

3. Вираз мішаного добутку через координати векторів.

Нехай в ортонормованому базисі  вектори  мають такі розкладання:

.

Треба знайти вираз  через координати векторів.

Користуючись властивостями скалярного і мішаного добутків, можна довести таку формулу: