Середні величини та показники варіації.

При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.

В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонійна, середня квадратична і середня геометрична.

Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіруємої ознаки, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.

Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки. Середнє гармонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.

Середня арифметична проста:

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

n ‑ кількість одиниць сукупності.

Середня арифметична зважена. Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:

;

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

m_і ‑ кількість однакових варіант.

Розрахуємо середні величини:

1. Ознака – коефіцієнт використання пробігу:

Таблиця 3.2.

№ п\п	Коефіцієнт використання пробігу	кількість водіїв	середина інтервалу
1	0,51-0,54	5	0,525
2	0,54-0,57	4	0,555
3	0,57-0,60	4	0,585
4	0,60-0,63	1	0,615
5	0,63-0,66	3	0,645
6	0,66-0,71	7	0,685

Ця величина показує, що в середньому коефіцієнт використання пробігу становить 0,61.

2.Ознака – продуктивність праці:

Таблиця 3.3.

Середня продуктивність праці становить 209,26 т\день.

3.Ознака – технічна швидкість:

Таблиця 3.4.

Середня технічна швидкість становить 27,06 км/год.

Крім визначення середніх величин, щоб оцінити коливання ознаки сукупності, в цьому розділі роботи знаходимо показники варіації, які показують як розмістились варіанти ознаки навколо середнього значення ознаки. До них відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.

Розмах варіації- становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки. Перевага показника у тому, що його знаходження дуже просте. Недолік – із всіх одиниць сукупності беруться лише 2 одиниці, що мають максимальне та мінімальне значення.

R_х = x_max – x_min

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

R_х = 0,71-0,51=0,2

--для ознаки – продуктивність праці:

R_х = 236-163=73 (т/день)

-- для ознаки – технічна швидкість:

R_х = 31,6-22,4=9,2 (км/год)

Таким чином, коефіцієнт використання пробігу варіює в межах 0,2, продуктивність праці змінюється в межах 73 т/день, а технічна швидкість варіює в розмірі 9,2 км/год.

Середнє лінійне відхиленняпризначене для вимірювання варіації ознаки в сукупності. Цей показник відрізняється від попереднього тим, що він враховує всі одиниці сукупності , проте є недолік: не враховується знак відхилення ознаки від середньої величини.

де  - середнє арифметичне ознаки.

х_і – індивідуальне значення ознаки.

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

Значення коефіцієнта використання пробігу для кожного з водіїв знаходиться в межах .

--для ознаки – продуктивність праці:

Значення продуктивність праці знаходиться в межах  т/день.

-- для ознаки – технічна швидкість:

Значення технічна швидкість знаходиться в межах  км/год.

Середнє квадратичне відхилення – корінь квадратний із середнього квадрату відхилень від середніх значень. Воно показує, на скільки в середньому індивідуальне значення ознаки відрізняється від середніх величин.

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

Квадратичне відхилення значення залишкової вартості кожної з одиниць основних фондів від середнього становить  

--для ознаки – продуктивність праці:

Квадратичне відхилення продуктивності праці від її середнього значення становить т/день.

-- для ознаки – технічна швидкість:

Квадратичне відхилення кількості їздок від її середнього значення становить км/год.

Дисперсія – це абсолютний показник варіації, квадрат квадрата відхилення. Зважена дисперсія визначається за формулою:

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

--для ознаки – продуктивність праці:

-- для ознаки – технічна швидкість:

При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики – коефіцієнти варіації, які обчислюються як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

-- для ознаки – коефіцієнт використання пробігу:

V= (0,004/0,61)*100%=10.2%

--для ознаки – продуктивність праці:

V=(17,07/209,26)*100%=8,2%

-- для ознаки – технічна швидкість:

V=(2,86/27,06)*100%=10,6%

Вважається, що якщо V>30%- зв'язок не однорідний, V<30%- зв'язок однорідний. В даному випадку бачимо, що сукупність, розглянута в ході спостереження є однорідною.

3.3 Структурні середні

Структурні середні – це середні, що характеризують структуру варіаційних рядів.

 До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.

де x₀ – це нижня межа модального інтервалу.

i – довжина інтервалу.

m_m0 – частота модального інтервалу,

m_m0-1 – частота інтервалу, що передує модальному,

m_m0+1 – частота інтервалу, що йде після модального інтервалу.

Розрахуємо моду для таких показників:

-- коефіцієнт використання пробігу (модальний інтервал –(0,66-0,71)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв з коефіцієнтом використання пробігу 0,67

-- продуктивність праці (модальний інтервал –(211,8-224)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв з продуктивністю праці 216,375 т/день.

-- технічна швидкість (модальний інтервал –(30,05-31,6)):

Найбільше в сукупності зустрічається водіїв, що мають технічну швидкість 30,56 км/год.

Медіаною називається значення варіруючої ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини.

;                                                          

де Х₀ – нижня границя медіанного інтервалу;

і – величина інтервалу;

m_і – загальна сума частот усіх інтервалів;

m_е – частота медіанного інтервалу;

Sm_e-1 – сума частот до медіанного інтервалу.

Розрахуємо медіану для таких показників:

-- коефіцієнт використання пробігу (медіанний інтервал –(0,57-0,60)):

У половини водіїв коефіцієнт використання пробігу більше 0,59, у іншої половини – менше 0,59.

-- продуктивність праці (медіанний інтервал –(211,8-224)):

У половини водіїв продуктивність праці становить більше 213,16 т/день, у іншої половини – менше 213,16 т/день.

-- технічна швидкість (медіанний інтервал –(25,46-26,99)):

У половини водіїв технічна швидкість становить більше 26,68 км/год, у іншої половини – менше 26,68 км/год.