Эллипс и его характеристики.

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и  есть величина постоянная (большая, чем расстояние между  и ).

Точки  и  называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через , а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через , имеем . Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины  закрепить в точках  и  и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами  и  и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной  
(Рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось  походила через фокусы  и , положительное направление оси – от  к , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек  и  будут соответственно  и .

Пусть  ‑ произвольная точка эллипса, тогда:

,

.

По определению эллипса . Подставляя сюда значения  и , имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим: .

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем  или

(7.2)

Положительную величину  обозначим через . Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами . Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами  и :

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени  и . Поэтому, если точка  принадлежит эллипсу, то и точки , ,  также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей  и .

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании  от  до ,  монотонно убывает от  до . График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Оси симметрии эллипса (оси  и ) называются просто его осями, а центр симметрии – точка  ‑ центром эллипса. Точки  пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки  и , а также их длины  и  называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси  (как в нашем случае), из равенства , следует, что . В этом случае  называется большой полуосью, а  ‑ малой.

Если , то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

 Эксцентриситет  характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  становится более вытянутым (Рис. 7.6).

Фокальными радиусами точки  эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами  и . Их длины  и  задаются формулами  и . Прямые  называются директрисами эллипса. Директриса  называется левой, а  ‑ правой. Так как для эллипса , то  и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния  любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию  до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. .

Гипербола.

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек  и  есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между  и ).

Точки  и  называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов  и  обозначим через . По условию, .

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

(7.6)

где  ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми  и .

Так как в уравнение входят только четные степени  и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .

График этой функции от точки  уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

(7.7)

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны  и  параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Рис 7.8.

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки  и  пересечения гиперболы с осью  называются вершинами гиперболы. Величины  и  называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами  и . Их длины  и  задаются формулами:

Для правой - ветви ,

Для левой - ветви .

Прямые  называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

42.Парабола. Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки  (фокуса) и данной прямой  (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось  проводят через фокус  перпендикулярно директрисе  в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом  и точкой  пересечения оси  с директрисой . Если обозначить через  расстояние фокуса от директрисы, то  и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что  может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси . Так как уравнение (7.8) содержит  только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси , и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании  неограниченно растет и . Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.

42.Первообразная и неопределенный интеграл.Интегрирование – операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функция  является ее производной:

Таблица интегралов.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;

45.Метод подведения под знак дифференциала в неопределенном интеграле. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

.Этот метод применяется для сведения интеграла к табличному путем замены какой нибудь части подинтегрального выражения его дифференциалом.

46.Метод подстановки. Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла  часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить  и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции  может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

1. . Если применить замену ; , то получим:

.

2. . Применим замену ; . В результате получим:

.

3.  Как и в предыдущем случае, применим замену ; . В результате получим:

.

4. . Интегрирование этого выражения будет проведено позднее при подробном рассмотрении метода замены переменных.

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

5.

.

47.Интеграл, содержащий квадратный трехчлен.1. ,2. ; 3. ; 4. . Для их нахождения нужно 1)выделить полный квадрат двучлена, основание двучлена обозначить через t, а интегралы вида 1 и 3 –будут табличные, а 2 и 4 – следует разбить на сумму двух интегралов, один из которых будет табличным, а другой берется подстановкой или подведением под знак дифференциала.

Интегрирование по частям.

Если функции  и  дифференцируемы на множестве  и, кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем .

Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

,

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

.

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция  и дифференциал . Таким образом, выбор функций  и  неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла.

Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени , то операцию интегрирования по частям придется повторять  раз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , a также, полином й степени :

.

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять  раз, причем в качестве функции  нужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида:

; ; .

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

,

где  исходный интеграл;

 постоянная .

В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для , из решения которого находится исходный интеграл :

.

Причем, метод интегрирования по частям может применяться многократно и любой из сомножителей можно всякий раз принимать за .

Большое количество интегралов, не входящих в эти три группы, у которых невозможно выделить общий признак для группировки, также вычисляются методом интегрирования по частям. К таким интегралам можно отнести:

, , , ,

49. Интегрирование рациональных функций. Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , где  и  – многочлены степени  и , соответственно. Рациональная дробь называется правильной при . В противном случае, когда , рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида:  и .

Интегралы вида  вычисляются следующим образом:

· ;

· ;

Для вычисления интегралов вида  применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

·

;

·

Обозначим  через , тогда . Введем новую переменную , тогда , .

; .

.

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла  сводится к вычислению интеграла .

Зная с точностью до константы интеграл  можно вычислить :

.

Используя полученный результат, можно вычислить :

Таким образом, можно вычислить интеграл  для любого натурального .

50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а  целые положительные числа, то интеграл: