Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Основные прав ила дифференцирования.1. Функция 2. Если 3. Из 1 и 2 следует, что 4. Функция 5. Из 4 следует, что 6. Если 28.Производная сложной и обратной функции. Производная сложной функции. Пусть
Или более кратко Правило можно записать также в виде:
Производная обратной функции Пусть функция Пусть функция Дифференциал функции и его основные свойства. Дифференцируемость функции
Величина  Если Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 ‑ 6 дифференцирования с заменой символа ¢ (штрих) на символ
Таким образом, приращение функции Теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема Ферма. Если функция Теорема Ролля. Если функция Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в Теорема Лагранжа. Если функция Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая Теорема Коши. Если функции Правило Лопиталя. Пусть I правило. Если: 1. 2. Существует конечный или бесконечный предел II правило. Если: 1. 2. Существует конечный или бесконечный предел Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида 32.Исследование на монотонность. Точки экстремума. . Функция Теорема. Если функция Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке Локальный экстремум Точка Точка Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума. Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства Решения этого уравнения называют стационарными точками. Исследование стационарных точек I правило. Если при возрастании II правило. Если вторая производная Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом. Глобальный экстремум.Непрерывная на отрезке · Находят стационарные точки · Находят точки · Вычисляют значения:
Это и будут 33.Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Графиком функции Если на промежутке Точка I правило. Если II правило. Если 34.Ассимптоты. Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества
Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при Вычисляют производную |
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 241. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
дифференцируема и 
;
‑ постоянная, то функция 
дифференцируема и 
;
;
дифференцируема и 
;
;
определена и дифференцируема, то 
.
и 
. Тогда можно определить сложную функцию 
. Если функция 
дифференцируема в точке 
, а функция 
дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в точке 
, и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:
.
.
.
задана на множестве 
, а 
– множество ее значений. Тогда каждому 
ставится в соответствие единственное значение 
. С другой стороны, каждому 
будет соответствовать одно или несколько значений 
, на множестве 
, множеством значений которой является 
и 
называются взаимообратными.
имеет конечную производную 
. Тогда обратная функция 
также имеет конечную производную, равную 
.
означает, что ее приращение представимо в виде:
.
при малых 
мала по сравнению с величиной 
. Поэтому 
представляет собой главную часть приращения 
, называемую дифференциалом функции в точке 
. Дифференциал функции 
и др.
и поэтому 
.
. Например:
;
.
в точке 
при малых значениях 
приблизительно в пять раз больше, чем 
приблизительно в 14 раз больше, чем 
дифференцируема в точке 
, т.е. существует 
, и всюду в некоторой окрестности этой точки 
, т.е. 
является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то 
.
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема на интервале 
и 
, то в некоторой точке интервала 
ее производная равна нулю.
, дифференцируема на интервале 
, то найдется точка 
для которой 
.
.
и 
определены и непрерывны на отрезке 
, дифференцируемы на интервале 
, то найдется точка 
.
и 
- функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или 
(если 
, то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь луч 
; если 
, то окрестность – луч 
). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть 
при 
.
. Тогда: 
.
;
Тогда: 
.
или 
. Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: 
. Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида 
или 
.
называется возрастающей на промежутке 
, если 
для любых точек 
и 
из промежутка 
. Функция называется убывающей на 
.
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема на интервале 
, то для того, чтобы 
была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы 
в каждой внутренней точке интервала 
.
называется точкой локального максимума функции 
, если существует интервал 
, содержащий точку 
такой что 
.
.
. Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: 
производная 
меняет знак с + на ‑ , то 
‑ точка локального минимума функции 
. Если 
не меняет знак в точке 
в стационарной точке 
функция 
принимает свое наибольшее значение 
и свое наименьшее значение 
в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений 
функции;
, в которых производная 
не существует или обращается в бесконечность;
‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.
и 
, заданной на множестве 
, называют множество точек плоскости с координатами 
. График называют выпуклым вниз на промежутке 
, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
вторая производная 
положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если 
на промежутке 
.
может быть точкой перегиба только в том случае, когда 
, либо 
не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке 
не означает еще, что в точке 
будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.
равна нулю или не существует и 
при переводе через точку 
меняет знак, то 
‑ точка перегиба графика функции 
.
и 
, то 
является точкой перегиба графика функции 
.
(если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты 
не ограничено, то вычисляют пределы функции при 
и 
. Если 
, то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту 
, если 
, график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту 
. Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты 
. Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:
.
).
. Находят критические точки функции 
, т.е. стационарные точки и точки, в которых 
не существует. Выделяют промежутки, на которых 
сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции 
.