Плоскость. Способы задания.

Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида .

Если  ‑ многочлен -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью -го порядка или просто поверхностью -го порядка.

Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:

(6.1)

определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Вектор , координатами которого являются коэффициенты при  в уравнении (6.1), перпендикулярен плоскости (6.1) по свойству скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор  называют нормальным вектором плоскости (6.1).

Способы задания плоскостей.

Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:

определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Вектор , координатами которого являются коэффициенты при  в уравнении (6.1), перпендикулярен плоскости (6.1) по свойству скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор  называют нормальным вектором плоскости (6.1).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку  перпендикулярно вектору , имеет вид:

(6.2)

Очевидно, что уравнение (6.1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов  не равен нулю.Рассмотрим частные случаи.

I. D ≠ 0.

Если , то уравнение  определяет плоскость, параллельную оси , так как вектор нормали к этой плоскости  перпендикулярен оси  (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).

Аналогично, если , то уравнение  определяет плоскость, параллельную оси .Если . То уравнение  определяет плоскость, параллельную оси .Если , то уравнение  или  определяет плоскость, параллельную плоскости . В этом случае вектор нормали  перпендикулярен к осям  и , т.е. к плоскости .

При  имеем  или  ‑ уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .

Если , то уравнение  или  определяет плоскость, параллельную плоскости .

II. D = 0.

Если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки  удовлетворяют этому уравнению.

Если , то уравнение  определяет плоскость, вектор нормали которой . Эта плоскость проходит через ось .

Аналогично, если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через ось .

Если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через ось .

Если , то уравнение  или  определяет плоскость . Аналогично, уравнения  и  определяют соответственно плоскости  и .

Если в уравнении (6.1) все коэффициенты  отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:

(6.3)

Здесь  ‑ величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

37.Прямая в пространстве.Способы задания.

1.Каноническое ур-е прямой.

2.Параметрические уравнения прямой. ,

x=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt.

3.Через две заданные точки.

4. Общее уравнение прямой. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей. A=A1x+B1y+C1z+D=0,

N=(A1,B1,C1)? B=A2x+B2y+C2z+D=0? N2=(A2,B2,C2)