Основные теоремы о пределах.

Теорема. Для того чтобы последовательность  имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где  – постоянная; – бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то ;

4. При любых постоянных  и ;

5. ;

6. Если ,  и , то ;

7. Если , то ;

8. Если  и , то ;

9. Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени  числителя и знаменателя).

Последовательность  называется:

· возрастающей, если ;

· строго возрастающей, если ;

· убывающей, если ;

· строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Первый замечательный предел.

Покажем,что

Отсюда , и после деления на , получим , а для обратных величин . Так как при  последовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность  заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности , справедливо равенство .

Второй замечательный предел.

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность  является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что , а . Тогда:

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители вида  имеют меньшую величину по сравнению с  при одном и том же , а также выражение для  имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность  сверху можно показать следующим образом:

.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности  имеет предел:

,

который обозначается  (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

22.Неприрывность функций в точке. Рассмотрим функцию , определенную на промежутке  Пусть . Функция  называется непрерывной в точке , если

Функция  называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция  должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке  означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Точки разрыва.

Непрерывность функции  в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела  и  существуют и равны , т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку  называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

1.  и  существуют;

2.  и  конечны;

3. ;

4. .

Если 1. не выполнено, то  называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то  называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то  называют точкой конечного скачка. Величина  называется скачком функции  в точке .

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то  называют точкой устранимого разрыва.

Если функция  определена в окрестности точки  и не определена в самой точке , то  также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

24.Свойства непрерывных функций на отрезке.Функция , определенная на отрезке  ( ) называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке  интервала , непрерывна справа в точке  и непрерывна слева в точке .

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано–Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Таблица производных.