Пределы числовой последовательности.

.Рассмотрим последовательность с общим членом Хn=n-1/n. Зная формулу общего члена, запишем члены последовательности: Х1=1-1/1=0 и т.д. Предел(Lim) Xn= lim n-1/n=1 (n стремится к бесконечности). О1:Число А называется пределом числовой последовательности {Хn}, если для любого Е>0(сколь угодно малого) найдется N, зависящий от Е(N(E) ) такой, что для всех n>N будет выполнятся неравенство /Хn- A/<E.

15. Предел функции. Теорема Гейне.Рассмотрим функцию , определенную на множестве . Пусть . Точка  называется предельной или точкой сгущения множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества  можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав  вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел , все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые в  не входят.

Множество  называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество  называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция , определенная на множестве  имеет предел  в точке сгущения : если для любого  найдется такое , что при .

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей , стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности , если существует предел соответствующих последовательностей , то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая предел  при , ограничена в некоторой окрестности точки . Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

· Если – есть постоянная функция, то ;

· Если существуют , и в некоторой окрестности точки  функция  ограничена, т.е. , тогда ;

· Если существуют  и  при каком-то условии, то  (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

· Если существуют  и  при каком-то условии, то  (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

· Если существуют  и  при каком-то условии, то  (при том же условии);

· Если  и существуют ,  и , то .

16. Односторонние пределы.В определении предела функции предполагалось, что  произвольным образом. Если при вычислении предела функции  при  считать, что , то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке . Если же считать, что  и , то получаютодносторонний предел слева или левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции , изображенной на Рис. 2, соответственно, равны:  и .

Правосторонний предел обозначают символом , левосторонний ‑ символом . Таким образом:

.

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .

Для того, чтобы у функции  в точке  существовал двусторонний предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы  и  функции  в точке , и эти пределы были равны между собой: .