Линейные операции над векторами.

Действия над матрицами.

Суммой двух матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

Коммутативность, т.е. .

Ассоциативность, т.е. .

Для любых двух матриц  и  одинакового размера существует единственная матрица  такая, что . Матрица  обозначается  и называется разностью матриц  и . Уравнение  имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной  и обозначается .

Произведением матрицы  на число  называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

; ; ; (ассоциативность); (дистрибутивность); (дистрибутивность).

Матрица  называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы  на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

Если матрица  согласована с матрицей , а матрица  согласована с матрицей , то  ‑ ассоциативность умножения;

 ‑ свойство дистрибутивности;

Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Обратная матрица. Пример.

Пусть  - квадратная матрица порядка . Матрица  называется обратной матицей к матрице , если выполняются равенства , где  ‑ единичная матрица порядка .

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.Пусть  и  ‑ матрицы, обратные к матрице . Тогда , с другой стороны, .Откуда . Обратную матрицу к матрице  обозначают . Теорема 2. Матрица  имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .Пусть  имеет обратную матрицу. Тогда  и, применяя теорему об умножении определителей, получаем  или . Следовательно, .Пусть . Укажем явное выражение матрицы  через элементы матрицы , а именно: если , то:

,

здесь  ‑ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица  получается из матрицы  следующим образом. Сначала вместо каждого элемента  пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .Непосредственное умножение  на матрицу  слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, матрица, обратная к .

4.Теорема Кронекеля-Копеля.?Ответ о совместимости системы линейных ур-ний дает теорема Кронекеля-Конеля.Система совместима тогда и только тогда когда ранг матрицы А =рангу матрицы  .Для того чтобы установить совместность системы нужно:1)найти ранг матрицы основной(r(A));2)найти r( ).Тогда если: 1)если r(A)= r( )=n,где n-число неизвестных,то система имеет ед. решение.2)если r(A)≠ r( ),то система не совместна и нет решений.3)если r(A)= r( )<n,то бесконечно много решений,в этом случае систему преобразуют так чтобы остались лишь уравн. коэф-ты при неизвестных у котор. образ. базисный минор. В оставшихся уравн. в левой части оставл. только те неизвестные (их наз. главными)коэф-ты при которых образуют базисный минор, все остальные неизвестные (свободные неизв.) переносят в правую часть и придавая разные значения свободным неизвестным мы будем получать частные решения.

5.Векторы.Основные понятия.Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

направлением;длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка  есть начало вектора (его точка приложения), а  ‑ его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначается  или  и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;

2. они параллельны;

3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

6.Способы задания векторов.1 сп.) Задание векторов координатами.О.1.Координатами в ДПСК принято называть проекцией вектора на соотв. координатные оси. Напр:  = (2;3) - на плоскости; =(2;3;4)-в пространстве.2 сп.)Направление вектора можно задать указав углы что образуют вектор соотв.осями координат с OX-α,OY-β,OZ-γ(в пространстве).3 сп.)Задание вектора,указав начало и конец,двумя точками A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂).                  4 сп.)Задание вектора через составляющие:

Линейные операции над векторами.

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы  и  сносятся в общую точку , на них строят параллелограмм  и его диагональ  называют суммой векторов  и .

Поскольку вектор  равен , то можно дать другое правило нахождения суммы  (правило треугольника): суммой векторов  и  является вектор, идущий из начала  в конец , если вектор  приложен к концу вектора , т.е. .

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов  и , отложенных от одной точки  является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора  в конец уменьшаемого вектора , т.е.  (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. , то .

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор  равен , где  ‑ некоторое число, если: коллинеарен ;длина вектора  отличается от длины вектора  в  раз, т.е. ,при ,  и  направлены в одну сторону, при  ‑ в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами: ; ; ; ; .