Динамическое программирование

Многошаговые процессы в динамических задачах

Динамическое программирование (планирование) представляет собой математический

метод для нахождения оптимальных решений многошаговых (многоэтапных) задач. Некоторые из таких задач естественным образом распадаются на отдельные шаги (этапы), но имеются

задачи, в которых разбиение приходится вводить искусственно, для того чтобы их можно было

решить методом динамического программирования.

Пусть на некоторый период времени Т, состоящий из т лет, планируется деятельность группы промышленных предприятий. В начале планируемого периода на развитие предприятий выделяются основные средства Q0, которые необходимо распределить между предприятиями. В процессе функционирования предприятий выделенные им средства частично расходуются.

Однако каждое из этих предприятий за определенный период времени (хозяйственный год) получает прибыль, зависящую от объема вложенных средств. В начале каждого года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями. Требуется определить, сколько средств надо выделить каждому предприятию в начале каждого года, чтобы суммарный доход от всей группы предприятий за весь период времени Т был максимальным.

Процесс решения такой задачи является многошаговым. Шагом управления (планирования) здесь будет хозяйственный год. Управление процессом состоит в распределении (перераспределении) средств в начале каждого хозяйственного года.

Пусть имеется груз, состоящий из неделимых предметов различных типов, который нужно погрузить в самолет грузоподъемностью Р. Стоимость и масса каждого предмета j-го

типа известны и составляют соответственно сj, и pj единиц ( j =1,n ). Требуется определить, сколько предметов каждого типа надо загрузить в самолет, чтобы суммарная стоимость груза

была наибольшей, а масса не превышала грузоподъемности самолета.

Математически задача записывается следующим образом: найти такие целые неотрицательные значения   хj ( j =1,n ), которые бы максимизировали функцию

при ограничении

где хj — количество груза j-го типа, позволяющее достичь max f(x).

Процесс решения рассматриваемой задачи не является многоэтапным. Она относится к классу задач целочисленного линейного программирования. Однако ее можно решить методом

динамического программирования. Для этого весь процесс решения потребуется разбить на этапы искусственно. На первом этапе рассматривают всевозможные варианты загрузки самолета предметами первого типа и среди них находят оптимальный. На втором этапе определяют вариант загрузки самолета предметами первого и второго типов и т. д. Процесс решения задачи продолжается до тех пор, пока не будет найден оптимальный вариант загрузки самолета предметами n типов.