Следствия закона больших чисел: теорема Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

Если m число появления события А в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в одном испытании p, , то для любого справедливо .

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов  приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Теорема Пуассона:

Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в i-м опыте равна р_i, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p_i.

(Если m – число появления в n независимых испытаниях, но каждое испытание имеет свою вероятность, , то для любого справедливо ).

Задача 29.9 (а).

неограничена не выполняет закон больших чисел (по теореме Чейбышева)

Экзаменационный Билет №6

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

Докажем, что в этом случае

т. е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Доказательство.

Так как гипотезы  образуют полную группу, то событие A может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

Так как гипотезы несовместны, той комбинации также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим:

Применяя к событию H_iA теорему умножения, получим:

что и требовалось доказать.

Понятие об усиленном законе больших чисел.

Y_n – Сходится по вероятности своему математическому ожиданию.

Усиленный закон больших чисел утверждает, что при определённом условии наблюдает сходимость почти наверны.

Для того, чтобы последовательность случайных величин подчиняет усиленному закону больших чисел необходимо

Теорема 1:Для того, чтобы последовательность независимых случайных величин подчиняет усиленному закону больших чисел необходимо:

Теорема 2:Последовательность одинаковы распределенных независимых случайных величин подчиняет усиленному закону больших чисел необходимо и достоточно: существование математического ожидания.

Задача 15.3.

Срединная ощибка Е = 25

б. Вероятность получения ощибки измерения дальности по абсолютной велчине не превосходящей 20м

Экзаменационный Билет №7

Формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно  Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А.

Найти условную вероятность для каждой гипотезы.