Более общей является следующая теорема Ляпунова.

Экзаменационный билет №1

Основные понятия теории вероятности.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Событиемназывается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р(А), Р или р.

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти. P(U) = 1.

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти. P(V) = 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей: 0 < Р(А) < 1.

Центральная предельная теорема. Различные формы центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых

Если  независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

И тогда вероятность того, что случайная величина Y попадет в промежуток , выражается формулой

,

где  - функция Лапласа;

; .

СледствиеПусть  — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.

Для любых вещественных x < y при  имеет место сходимость

Для любых вещественных x < y при  имеет место сходимость

 Для любых вещественных x < y при   имеет место сходимость

Если  — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

Замечание. Еще раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по соответствующей таблице в справочнике, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак не путем нахождения первообразной.

Более общей является следующая теорема Ляпунова.

Пусть  - независимые случайные величины с математическими ожиданиями  и дисперсиями , причем в сумме  нет слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также нет большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, то при  закон распределения случайной величины Y неограниченно приближается к нормальному.

Задача 30.3 (а).

Вероятность выхода из строя не менее 20 конденсаторов:

Экзаменационный билет №2