Классическая, частотная, геометрическая схема вычисления вероятности.

А- Классическая вероятность

Вероятность события А вычисляется по формуле ;

где n - общее число случаев;

m - число случаев, благоприятных событию А.

B- Частота

Частотусобытия часто называют его статистической вероятностью. Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле и отчевидно, что

где m— число появлений события А;

n — общее число произведенных опытов. 

с- Геометрическая вероятность:

Использована тогда, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой части области (длине, площади, объёму, ...) и не зависит от её расположения и формы.

Неравенство Чебышева. Две формы неравенства Чебышева.

A. Первая формула.

Если х – случайная неотрицательная велична, то

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения

2. Для непрерывных величин

B. Вторая формула.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на   , ограничена сверху величиной : .

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения  

2. Для непрерывных величин

Примечание.

Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина X выйдет за пределы участка значительно меньше ¹/₉

Задача 30.3. (б)

Вероятность выхода из строя менее 28 конденсаторов:

Экзаменационный Билет №3

Теорема сложения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство:

Предположим, что из n случаев m благоприятны событию А,a k — событию В. Тогда

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев,которые благоприятны я А, и В вместе. Следовательно, событию A+B благоприятны m+k случаев и

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой

Р(A + В) = Р(A) + Р(В) - Р(АВ),

где АВ — произведение событий А и В.

Теорема сложения вероятностей для нескольких событий

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события A_i совместны, вероятность их суммы выражается формулой

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов г, j, к,..., взятых по одному, по два, по три и т. д.

Если события A₁,А₂,..., А_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: