Расчет величины рискового капитала

В данном разделе рассмотрена реализация разработанной модели АМА на примере расчета капитала на покрытие операционного риска одного из кредитных банков средней величины. Будем в дальнейшем называть его - Банк.

В качестве источников данных о потерях кредитных организаций,

связанных с операционными рисками, была использована база ORX Analytics (далее - ORX), и консолидированные данные агентства Fitch. ORX - международная база данных, консолидирующая анонимную информацию о потерях операционных рисков, более чем 200 кредитных страховых и инвестиционных компаний из более чем 11 стран мира (ORX 2010).

На основании данных ORX основными факторами операционного риска являются «Внешнее мошенничество» и «Внутреннее мошенничество» (более 75% убытков за последние 5 лет приходятся именно на них). Для демонстрации работы реализованного алгоритма АМА рассмотрена упрощенная модель симуляции убытков по трем следующим категориям риска:

· «Внешнее мошенничество» (1);

· «Внутреннее мошенничество» (2);

· «Прочие» (3).

Распределение величин убытков

Оценка параметров  обобщенного распределения Парето при предположении о постоянном, нормальном и логистическом распределении порога значимости проводилась на основании алгоритма, описанного в главе 2 средствами MATLAB (Приложение №8 «Листинг MATLAB»).

Результат оценки параметров представлен в Приложении №4 «Оценка

вероятностных распределений убытков» (таблица 4.1).

Поскольку тесты Колмогорова-Смирнова и Андерсона-Дарлинга не могут быть использованы для распределений, превышающих установленный порог, выбор распределения порогового значения проводился на основе информационного критерия Акаике:

,

где L - значение функции максимального правдоподобия, q - число оцениваемых параметров распределения.

На основании полученных результатов (таблица 4.1), логистическое

распределение наилучшим образом описывает распределение порогового

значения и.

Таким образом, для моделирования величин убытков категорий 1-3

использована модель с логистическим распределением порога значимости и параметрами:

Распределение частоты наступления убытков

Оценка распределения частот наступления убытков по категориям 1-3

проводилась методом максимального правдоподобия в пакете MATLAB:

Для моделирования частот наступления убытков категорий 1-3 наилучшим образом подошли следующие вероятностные распределения:

Матрица  корреляций Кендалла частот наступления убытков категорий 1-3 приведена в таблице 4.2 Приложения №4.

Расчет величины ожидаемых убытков и рискового капитала

Проведем дискретизацию полученного набора  вероятностных распределений величины убытков методом взвешенного среднего. Шаг дискретизации h выбран равным 100 тыс. рублей, число точек дискретизации D выбрано равным 1048576 = , так чтобы максимально возможный убыток (100 млрд. рублей РФ) заведомо превышал 99.9% квантиль распределения величины убытков.

Расчет величины математического ожидания

 для каждого шага h производился численно средствами MATLAB. Листинг модуля дискретизации приведен в Приложении №8 «Листинг MATLAB».

Оценка коэффициента корреляции частоты наступления событий  проводилась по формуле (исходя из определения):

.

Матрица линейных корреляций  была получена из

Матрицы корреляций  и  приведены в Приложении №4 «Оценка вероятностных распределений убытков» таблица 4.2.

Моделирование набора частот для распределений Пуассона , осуществлялось на основе копулы Гаусса и t-копул Стьюдента для 1-й, 3-х и 5-и степеней свободы (v=1,3,5). Число итераций М было выбрано равным 500тыс., 1 млн., 10 млн. В разделе 3.3 приведено исследование зависимостисходимости процесса Монте-Карло от числа итераций. Корреляционнаяструктура равномерно распределенных случайных величин в 2-х и 3-х мерномразрезе для различных копул приведена в Приложении №5 «Стохастическоемоделирование величины совокупного убытка». Листинг модуля генерацииматрицы Freq__Mtrx частот приведен в Приложение №8 «Листинг MATLAB»,(модуль Freq_Generation.m).

Первые три столбца матрицы содержат набор независимых частот наступления убытков; следующие три столбца содержат набор идеально зависимых частот наступления убытков, полученных при помощи копулы Гаусса с единичной корреляционной матрицей и используемых для сравнения с результатами методики LDA; следующие три столбца (7-9) содержат набор зависимых частот, полученных при помощи копулы Гаусса и корреляционной матрицы ; следующие 9 столбцов содержат набор частот, полученных при помощи t-копул Стьюдента с v = 1,3,5 степенями свободы и корреляционной матрицей  соответственно.

Численный расчет корреляционного поля полученных зависимых процессов матрицы Freq_Mtrx эмпирически подтверждает разработанный алгоритм стохастического моделирования генерирования случайных процессов с предопределенной структурой зависимостей:

;

Средневзвешенное квадратичное отклонение составляет менее 4%, что обусловлено исключительно числом произведенных итераций:

Дискретизация вероятностного распределения  совокупной величины убытков  для каждой итерации t вычислялась при помощи модуля FFT.m (Приложение №8 «Листинг MATLAB»). При реализации функции FFT.m были использованы алгоритмы быстрого прямого и обратного преобразования Фурье.

Входными параметрами модуля FFT.m являются:

·  - t-вектор матрицы случайных частот наступления убытков по каждой их трех категорий риска и в разрезе 6 структур различных зависимостей ;

·  - матрица дискретных распределений величин убытков по трем категориям риска.

На рисунках 5.1, 5.2 Приложения №5 «Стохастическое моделирование

величины совокупного убытка» приведены 100 случайно выбранных траекторий совокупных значений величин убытков по каждой из трех категорий риска для случая независимых убытков и структуры зависимостей, определенной при помощи t-копулы Стьюдента (v=1).

Оценка величины рискового капитала. Подходы LDA иАМА.

Модель LDA

В соответствии с упрощениями, предложенными Базельским Комитетом (Базель II) при реализации подхода LDA, использовано предположение о наличии идеальной корреляции между убытками, что позволяет получать величину совокупного рискового капитала К суммированием величин  для каждой категории убытков :

 при           (3.1)

При помощи аппроксимации (3.1) были получены оценки величин VaR в разбивке по категории риска  и по кредитной организации в целом:

• 250.2 млн. рублей для уровня значимости 99.9%;

• 74 млн. рублей для уровня значимости 99.5%.

Проверка адекватности полученных на основе аппроксимации (3.1) величин VaR для рассмотренного примера проводилась при помощи численного моделирования зависимых случайных процессов наступления убытков (с коэффициентом корреляции 1) и расчета величины рискового капитала на их покрытие на основе разработанного программного инструментария. Столбцы 4-6 матрицы , полученной в предыдущем разделе, содержат сгенерированный набор зависимых частот , моделирующих наличие идеальной корреляции между убытками.

Расчет величины VaR дискретного вектора вероятностного распределения  реализован в модуле CaR_Calculation.m (Приложение №8 «Листинг MATLAB»).

В качестве аргументов в функцию CaR_Calculation.m последовательно передавались строки матрицы  для каждой категории риска  и трех векторов частот наступления убытков .

Данный алгоритм был проделан в цикле миллион раз  для каждого шага t смоделированных частот, затем полученные денежные эквиваленты квантилей по всем траекториям были сгруппированы по категориям риска, сложены и усреднены по числу итераций.

Полученные результаты (Приложение №6 «Сравнение расчетных значений рискового капитала») свидетельствую о том, что при уровне достоверности близком к единице  аппроксимация (3.1) может быть использована для оценки квантиля многомерной свертки независимых распределений (относительная погрешность  составляет 8.2 %). При  относительная погрешность  составляет более 20 % и ее использование не приемлемо.

Модель АМА

Расчет величины VaR в рамках подхода АМА также производился при помощи модуля CaR _ Calculation.m .

В качестве аргументов в функцию CaR_Calculation.m последовательно передавались строки матрицы  для каждой категории риска  и различных типов частот наступления убытков , сгенерированных при помощи копулы Гаусса и t-копулы Стыодента для v = 1,3,5 степеней свободы, моделирующие различные структуры зависимостей.

Алгоритм cтохастической модели Монте-Карло аппроксимации случайной суммы, был проделан в цикле миллион раз  для каждого шага t смоделированных частот, затем полученные денежные эквиваленты квантилей по всем траекториям были сгруппированы по категориям риска, сложены и усреднены по числу итераций.

В таблице 2 представлено сравнение величин рискового капитала в разрезе по категориям риска, полученные для случая независимых распределений частот и для случая коррелированных убытков, моделирование которых осуществлялось при помощи копулы Гаусса и t-копул Стьюдента с v = 1,2,3 степенями свободы.

Помимо расчета величины VaR, в модуле CaR _Calculation.m также реализован расчет показателя ES на основе меры риска Expected ShortFall, удовлетворяющей аксиомам когерентности. Детализированные результаты сравнения полученных расчетов приведены в Приложении №6 «Сравнение расчетных значений рискового капитала».

Таблица 2.

Сравнение расчётных значений капитала на покрытие операционного риска (млн. рублей).

В соответствии с результатами полученных расчетов величина

принимает наибольшее значение при предположении об идеальной зависимости убытков (модель LDA, уровень значимости: 99.9%): 243,9 млн. рублей. Наименьшее значение величина   принимает при предположении о независимости убытков (208.1 млн. рублей). При моделировании зависимостей убытков с использованием копулы Гаусса величина  составляет 213.2 млн. рублей. Использование t-копул Стьюдента приводит к более высоким расчетным значениям величины CaR: 241.5, 238.6, 231.6 млн. рублей для - tl, t3, t5 соответственно.

Данный результат наглядно демонстрирует искомый эффект экономии рискового капитала за счет учета диверсификации рисков и полностью согласуется с теорией копул, выявляющей усиление структур зависимостей копул в последовательности: