Моделирование зависимых структур случайных величин. Копульные функции.

Теорема Склара

Для любой функции многомерного распределения  существует единственная копула , такая что: , где - соответствующие непрерывные одномерные функции распределения.

Замечание

Условие единственности Теоремы Склара выполняется только в случае

непрерывных одномерных распределений.

Остановимся более подробно на двух основных типах копул: экстремальные и эллиптических. Класс экстремальных копул включает следующие важнейшие копулы:

- независимая копула;

- нижняя граница Фреше;

- верхняя граница Фреше;

При  копула называется комонотонной (comonotonic copula).

Эллиптические или неявные копулы получили наиболее широкое распространение в стохастической математике. В их основу заложены эллиптические распределения (многомерное нормальное, логнормальное, Стьюдента и др.).

Рассмотрим вектор , состоящий из одномерных стандартно-

нормальных случайных величин  с матрицей корреляций:

Разложим матрицу  на произведение  нижнетреугольной и

верхнетреугольной (транспонированной) матрицы В. Для симметричных и

положительно определенных матриц, какими являются корреляционные

матрицы, данное преобразование - преобразование Холецкого - всегда

существует и единственно. Элементы матрицы В формируются по следующей реккурентной схеме:

.

Преобразование Холецкого позволяет получить наборы зависимых стандартно-нормальных и равномерно распределенных случайных величин (с матрицей корреляций ) из набора независимых стандартно-нормальных

случайных величин.

Пусть - независимые стандартно нормальные случайные

величины. Тогда вектор - задает  стандартно-нормальных случайных величин с корреляционной матрицей .

Вектор  задает набор из  равномерно распределенных

случайных величин со структурой зависимости, определяемой матрицей .

Гауссова копула:

где - кумулятивная функция d -мерного нормального распределения;

 - корреляционная матрица.

В случае нулевой корреляционной матрицы, Гауссова копула вырождается в независимую.

Коэффициент  Гауссовой копулы :

Коэффициент  Гауссовой копулы:

t - копула Стьюдента:

,

где  - кумулятивная функция d -мерного распределения Стьюдента с v -

степенями свободы;

 - корреляционная матрица.

Коэффициент  t - копулы Стьюдента:

Коэффициент предельной зависимости является однопараметрическим

(параметр - число степеней свободы) и равен:

Перейдем к описанию алгоритма стохастического моделирования

зависимых случайных величин при помощи аппарата копульных функций.

Алгоритм стохастического моделирования зависимых случайных величин.

Алгоритм генерирования двух зависимых случайных процессов с

известными параметрами распределения  и предопределенной

структурой зависимости или RankCorr :

1. привести корреляцию Кендалла к линейной корреляции Пирсона;

2. выполнить преобразование Холецкого корреляционной матрицы  книжнетреугольному виду:

3. генерировать пару -независимых стандартно-нормальныхслучайных величин ;

4. получить пару  зависимых стандартно-нормальных случайныхвеличин  с параметром корреляции ;

5. получить пару  зависимых равномерно распределенныхслучайных величин с параметром корреляции  ;

6. выполнить обратное преобразование , получитьискомую пару (X,Y) - выборку из зависимых случайных процессов  с параметром корреляции ;

7. повторить данный алгоритм, начиная с п.З  раз, для того чтобы получитьискомую выборку объемом : .

В современных специализированных программных продуктах часть приведенных преобразований интегрированы в пакет расчета копул. В частности, в пакете MATLAB, использованного в работе, п.2-5 данного алгоритма объединены в рамках одной копульной функции:

U = copulamd('Gaussian', ,к), позволяющей сразу получать  пар зависимых равномерно распределенных на [0,1] случайных величин  с корреляционной матрицей .

Листинг программы приведен в Приложении «Листинг MATLAB».