Расчет величины рискового капитала

Определение

Мерой риска на вероятностном пространстве  называется отображение , где G - множество ограниченных функций над  (множество элементарных событий), R - вещественная прямая.

В исследованиях, посвященных теории риска, широкое распространение получил класс когерентных мер риска, как класс функций наиболее адекватно описывающих процессы финансового мира, в т.ч. эффект диверсификации рисков (свойство субаддитивности).

Определение

Мера риска  называется когерентной, если она удовлетворяет

следующим свойствам:

· Суббаддитвность:

· Монотонность:

· Положительная однородность:

Замечание

В определении когерентной меры риска присутствует условие инвариантности к сдвигу: , где г - некоторый безрисковый инструмент. В настоящей работе это требование опущено, т.к. является несущественным для получения основных результатов и, более того, имеет нежелательные следствия. Например, из него следует, что когерентная мера риска не может быть суммой когерентных мер. Пусть .

Тогда:

Определение

Для заданного уровня достоверности  мерой риска VaR

называется:

Замечание

В общем случае мера VaR не является когерентной (не выполняется свойство субаддитивности). Рассмотрим следующий пример, демонстрирующий нарушение свойств когерентности, для меры VaR.

Пусть и  - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность вероятности 0.9 на отрезке [0, 1] и 0.05 на отрезке [-2, 0].

При

Одновременно:

Замечание

Если квантили распределений вычисляются в предположении о совместно нормальном распределении, то мера риска VaR является когерентной (условия субаддитивности, монотонности, положительной однородности и

инвариантности к сдвигу выполняются).

Определение (Expected ShortFall - ES)

Для заданного уровня достоверности  и меры риска VaR,

определенной в соответствии с вышестоящим замечанием, мерой риска ES (Expected Shortfall) называется условное математическое ожидание:

Мера риска ES - является когерентной. В главе 3 приводится сравнения

величин CaR, полученных с помощью ES и VaR для моделей АМА и LDA

Когерентное распределение рискового капитала. Вектор Лумана-Шепли.

Пусть, рассчитанная в соответствии с методикой LDA величина рискового капитала, на покрытие операционного риска i-ro подразделения или i-ro направления деятельности составляет:  где

 - одна из рассмотренных выше мер риска.[20]

В соответствии с рекомендованной Базель II методикой LDA, суммарная величина капитала на покрытие операционного риска, рассчитывается как сумма капиталов по всем подразделениям:

Как видно из результатов сравнения величин капиталов, приведенных в

главе 3, такой подход ведет к существенному завышению величины рискового капитала вследствие отказа от учета корреляции между рисками. Рассмотрим модификацию данного подхода, позволяющую учесть эффект диверсификации рисков на этапе их суммирования, без применения усложненных подходов, использованных в АМА.

Зададим принцип распределения капитала между подразделениями

(подпортфелями) организации функцией П:

 где     (2.9)

Определение (компонентый VaR)

Распределением капитала с учетом корреляции рисков подразделений (компонентый VaR) называется:

Однако, как было показано ранее  мера VaR не отвечает условию

субаддитивности, поэтому применение компонентного VaR также является

нежелательным. Определим критерием эффективного распределения рискового капитала выполнение условий когерентности.

Определение (Когерентное распределение капитала)

Принцип распределения П капитала когерентен, если выполнены

следующие свойства:

1.  - свойство неотделимости.

2. Если при объединении произвольных подмножеств  портфели  и  вносят одинаковый вклад в рисковый капитал, то . (свойство симметричности).

Распределение рискового капитала есть не что иное, как распределение затрат между несколькими подразделениями кредитной организации (игроками) с определенными ограничениями на вид меры риска (функции затрат) и некоторыми граничными условиями, поэтому кооперативная теория игр как нельзя лучше подходит для постановки задачи и получения конечных результатов. Перейдем к формулировке задачи когерентного распределения рискового капитала в терминах кооперативной теории игр

Необходимые факты кооперативной теории игр[21]

Пусть  - конечное множество подразделений (подпортфелей). В рамках данного раздела, множество подразделений будем считать ограниченным и неделимым. Функция затрат c(S) определена на каждом подмножестве (называемом также коалицией) следующим образом:

Для когерентной меры риска функция затрат является субаддитивной:

Определение (Ядро игры)

Ядром игры  называется множество распределений  удовлетворяющих двум следующим свойствам:

1.  - (условие эффективности);

2.  - (принцип отделения).

Второе свойство означает, что коалиция никогда не заплатит цену, превосходящую те затраты, которые она понесет, если захочет обслуживаться самостоятельно.

На вопрос наличия непустого ядра кооперативной игры отвечает критерий О.Н.Бондаревой, а также более сильное достаточное условие - условие

субаддитвности игры: . На основании теоремы О.Н.Бондаревой известно, что в игре с функцией затрат, определяемой когерентной мерой риска, ядро не пусто.

Встает вопрос: каким образом из ядра выбрать одно единственное распределение затрат, которое и будет искомым? Объект, ставящий в соответствие игре одно единственное распределение, называется значением или оператором значения.

Определение (Оператор значения игры)

Оператор значения  есть отображение , ставящее в соответствие каждой игре (N, с) распределение  величины c(N), такое что:

.

В теории игр на множество операторов значения накладывают три

следующих требования:

1. Симметричность: оператор значения  симметричен, если он коммутирует с перестановкой агентов, т.е.  - биекции множества N в себя и  выполняется:

2. Аддитивность: ;

3. Аксиома «дурака»:  

Теорема (Л. Шепли)

Существует только один оператор значения, удовлетворяющий свойствам симметричночти, аддитивности и аксиоме «дурака» - вектор Шепли:

           (2.10)

Свойство аддитивности вектора Шепли дает следующий полезный результат: в случае, когда мера риска представляется суммой когерентных мер (например, рыночный плюс кредитный риск), для нахождения распределения с использованием вектора Шепли достаточно вычислить вектор Шепли для каждой из мер и затем их сложить.

Таким образом, вектор Шепли, в случае его принадлежности ядру игры, задает единственный искомый принцип распределения рискового капитала. Достаточным условием принадлежности вектора Шепли ядру кооперативной игры является вышеуказанное условие супераддитивности игры. Однако известно, что игра, определяемая когерентной мерой риска, удовлетворяет условию супераддтивности только в случае линейных мер риска. Линейность влечет отсутствие эффектов диверсификации рисков, поэтому рассматривать такие меры в задаче распределения рискового капитала нецелесообразно.

В классе кооперативных атомических игр задача когерентного распределения рискового капитала кредитной организации в общем случае решения не имеет. Было введено предположение ограниченности и неделимости множества подразделений (подпортфелей) N. Если отказаться от последнего требования (неделимости), то мы перейдем в более общий класс кооперативных игр - класс неатомических игр, для которых также существует обобщенный аналог вектора Шепли, который в свою очередь является единственным решением неатомической кооперативной игры и в, отличии от атомической игры, всегда принадлежит ее ядру.

Неатомические кооперативные игры.

Определим также как и в предыдущем разделе, конечное множество  подразделений (подпортфелей). Предположим, что каждая коалиция может состоять из  портфеля 1, у% портфеля 2 и т.д. Пусть компоненты вектора  соответствуют возможным вкладам i-ro игрока (подразделения) в каждую коалицию.

Определение

Кооперативной неатомической игрой называется множество , где: N - конечный набор игроков, | N |= п; -алгебра над [0,1];  - функция затрат.

Функцию затрат коалиции  будем определять через когерентную меру :

.

Определим оператор  значения кооперативной неатомической игры в терминах задачи когерентного распределения рискового капитала К между  подразделениями:

Определение

Оператор значения кооперативной неатомической игры  задает принцип когерентного распределения капитала, если для неговыполняются следующие 5 условий когерентности, и он принадлежит ядруигры:

1. Обобщенная инвариантность: Если для мер риска , некоторой

матрицы  и  выполнено условие: , то ;

2. Непрерывность: отображение  непрерывно в пространстве непрерывно дифференцируемых мер ;

3. Монотонность: пусть  - неубывающая мера, тогда ;

4. Нечеткое ядро игры: отображение  принадлежит ядру игры , если для всех  выполняется:

5. Аксиома «дурака»: если -игрок – «дурак», т.е. где наборы  и  отличаются компонентом , , то ;

6. Оператор значения игры  принадлежит ядру игры, если  выполняется: , при этом .[22]

Теорема (Р.Ауман, Л.Шепли)

Существует единственный оператор значения кооперативной неатомической игры, удовлетворяющий пяти аксиомам когерентности и принадлежащий ядру игры - вектор Аумана-Шепли: .

Для однородных мер риска (требование однородности меры является 3й аксиомой когерентности) вектор Аумана-Шепли удается выразить в явном

виде:

Величина  представляет маргинальный риск i-го подразделения

(подпортфеля).

 - градиент Аумана-Шепли функции затрат подразделения.

Таким образом, полученное аналитическое выражение вектора Аумана-

Шепли, является искомым принципом когерентного распределения рискового капитала кредитной организации. Величина рискового капитала определяется как: .

Известно, что маргинальный риск меры VaR представляется в

виде:

Таким образом, при предположении о нормальном распределении риск-факторов принцип когерентного распределения рискового капитала

соответствует концепции компонентного VaR:

,

где  и  - математическое ожидание и матрица ковариации соответственно.