Закон распределения и функция распределения двух случ величин.

Наиболее полным описанием многомерной СВ является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной СВ такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X,Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения (табл. 5.1), в каждой клетке (i,j) которой располагаются вероятности произведения событий .

Так как события  (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m), состоящие в том, что СВ Х примет значение , а СВ Y - значение , несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.:

Функцией распределения системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции распределения системы двух сл\в:

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то ф-я распр системы стремится к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.

3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности ф-я распр стремится к 0.

4) Ф-я распр является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

52.П лотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случ. величины.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

.

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле:

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Плотность совместного распределения вероятностей можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке и сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.

Действительно, вероятность попадания случайной точки ( , ) в прямоугольник с вершинами , , и равна:

Применив к правой части теорему Лагранжа, получим:

где ; . Отсюда: