Какой формулой определяется закон распределения Пуассона?

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями ,

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид: 

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда .

На рис. 4.1 показан многоугольник (полигон) распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона Р(Х=m)=Р_m(λ) с параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Теорема. Математическое oжидaниe и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.

и

Какой формулой определяется равномерный закон распределения. Запишите формулу функции распределения для равномерного закона распределения и постройте ее график.

Приведем пример случайной величины, распределенной с равномерной вероятностью.Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т,в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой СВ, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) минут.

Рассмотрим Сл.Величину X, подчиненную закону равномерной плотности на участке от а до в (см. рисунок 5.6). Плотность этой величины f (x) постоянна и равна с на отрезке (а, в); вне этого отрезка она равна нулю:

(5.29)

Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: c (в-а)=1. Отсюда получаем:c=1/(в-а).

Поэтому плотность распределения f (x) примет вид:

(5.30)

Рисунок 5.6 — График равномерной

плотности распределения

Эта формула и выражает закон равномерного распределения вероятностей (закон равномерной плотности) на участке (а, в).

Напишем выражение для функции распределения F (x), которая выражается площадью, ограниченной кривой распределения и осью абсциссы, лежащей левее точки х (рисунок 5.6):

(5.31)

График функции распределения F (x) приведен на рисунке 5.7.

Основные числовые характеристики СВ X на участке от а до в:

— математическое ожидание величины X:

Рисунок 5.7 — Функция распределения

— дисперсия величины X:

— среднее квадратическое отклонение:

Найдем вероятность попадания СВ X распределенной по закону равномерной плотности, на участок (х1, х2), представляющий собой часть участка (а, в) (рисунок 5.8).

Рисунок 5.8 — Вероятность попадания величины X на участок(х1, х2)

Геометрически, как это видно из рисунка 5.8, вероятность представляет собой заштрихованную площадь и равна: