Численные характеристики системы двух случайных величин. Кореляционный момент. Коэффициент корреляции.

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками.

Корреляционным моментом случайных величин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами Х и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что μ_xy можно записать в следующем виде:

Для непосредственного вычисления корреляционного момента (ковариации) используется формула (см. распределение (18.21))

ТЕОРЕМА 3. Корреляционный момент двух независимых случайных величин Х и Y равен нулю.

Если корреляционный момент μxу не равен нулю, то, стало быть, величины Х и Y являются зависимыми.

Коэффициент корреляции

Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантиметрах, то μ_xy имеет размерность см2.

Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Для устранения этого недостатка вводят безразмерную числовую характеристику — коэффициент корреляции, величина которого не зависит от выбора системы измерения случайных величин.

Определение 3. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Из определения и свойств математического ожидания и дисперсии следует важный вывод, что абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

Определение 4. Две случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля; если же их корреляционный момент равен нулю, то Х и Y называются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные величины (т.е. при rxy ≠ 0) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Нервенство Чебышева и ее смысл.

Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: ,

где а = М(Х), е > 0.

☺ Применим неравенство Маркова в форме  к случайной величине , взяв в качестве положительного числа . Получим: .

Т.к. неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия случайной величины Х, то из неравенства получаем доказываемое неравенство. ☻

Учитывая, что события и  противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме: .

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме  оно устанавливает верхнюю границу, а в форме  - нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Неравенство Чебышева раскрывает вероятностный смысл числовых характеристик.Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое значение, так как дает простую количественную оценку для вероятности отклонения случайной величины, с произвольным значением, от ее центра.