Определение начального и центрального моментов k-го порядка. Каковы простейшие соотношения между ними.

Начальным моментом k-го порядка случ. велич X наз-ся мат. ожидание k-й степени этой величины: ν_k=M(X^k). Для непрерывн случ велич: ν_k=∫х^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞). Центральный моментом k-го порядка случ. велич. X наз-тся матю ожидание k-й степени отклонения X от ее мат. ожидания: μ_k=M[X-M(X)]^k. Для непрерывной случ велич: μ_k= ∫(х-М(Х))^k φ(x)dx (интеграл от -∞ до +∞).

Центральный момент первого порядка равен нулю:

Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию случайной величины :

Для дискретных случайных величин:
;

Третий центральный момент μ₃ служит для характер-ки асимметрии распределения. А= μ₃\σ³. Если распред-е симметрично относительно мат. ожидания, то А=0. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Определение моды и медианы.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение.Медианой случайной величины называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Какой закон распределения называют биномиальным.

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями

,где 0<р<l, q=1-p.

Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения  выполнено, ибо  есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона.

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону,

а ее дисперсия