Теорема Чебышева и ее смысл.

Теорема. Если дисперсии n независимых случайных величин  ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняяарифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , т.е.

Или

☺ По условию , , где С - постоянное число.

Получим неравенство Чебышева в форме  для средней арифметической случайных величин, т.е. для .

Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):

;

.

(Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии и, в частности, то, что случайные величины  независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.)

Запишем неравенство  для случайной величины :

.

Т.к. по доказанному , то ,

Следовательно.

в пределе при n → ∞ величина  стремится к нулю, и получим доказываемую формулу. ☻

Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие. Если независимые случайные величины  имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то:

,

Или

Теорема Бернулли и ее смысл.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Теорема. Частность события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

Или

☺ Заключение теоремы непосредственно вытекает из неравенства Чебышева для частости события  при n → ∞. ☻

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частность (или статистическая вероятность) события m/n - величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины р - вероятности события, т.е. практически перестает быть случайной.

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева.