Определение матемтического ожидания дискретной и непрерывной случ величины.

Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Если дискретная случайная величина Х принимает бесконечное, но счетное множество значений x1,x2,...,xn,..., то математическим ожиданием, или средним значением, такой дискретной случайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится):

Так как данный ряд может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания. Например, случайная величина Х с рядом распределения

не имеет математического ожидания, ибо сумма ряда равна ∞. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величиныХ, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: . При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

Свойства математического ожидания.

1.Математическое ожидание постоянной величины равно са­ мой постоянной: .

□ Постоянную величину С можно рассматривать как величину, принимающую значение С с вероятностью 1. Поэтому М(С) = С·1 = 1.■

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(kX) = kM(X).

□ Так как случайная величина kX принимает значения kxi (i = 1,2,...,n), то

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.e. М (Х ± У) = М(Х) ± М(У).

□ В соответствии с определением суммы и разности случайных величин Х+У (Х-У) представляют случайную величину, которая принимает значения xi+yj (xi-yj) (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями рij = Р[(Х = хi)(У = yj)].

Поэтому .

Так как в первой двойной сумме xi не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование во второй сумме, и аналогично во второй двойной сумме yj не зависит от индекса i, то

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величинравно произведению их математических ожиданий: М(ХУ) = М(Х)М(У).

□ В соответствии с определением произведения случайных величин, ХУ представляет собой случайную величину, которая принимает значения xiyi (i = 1,2,...,n) (j = 1,2,...,m) с вероятностями Рij = P[(Х = хi)(У = yj)], причем в силу независимости Х и У pij = pipj. Поэтому

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:М(Х ± С) = М(Х) ± С.

□Учитывая свойства 3 и 1 математического ожидания, получим М(Х ± С) = М(Х) ± М(С) = М(Х) ± С.■

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: М[Х-М(Х)] =0.

□ Пусть постоянная С есть математическое ожидание а = М(Х), т.е. С = а. Тогда, используя свойство 5, получим

М(Х - а) = М(Х) - а = а - а = о. ■