Определение дисперсии и среднего квадрат-го отклонения дискретной и непрерывной случ. величины.

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или , где

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-го ожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать:

D(X)=M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)]-2M(X)M(X)+

+M²(X)=M(X²)-M²(X)

В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.

Выбор дисперсии, определяемой по формуле, в качестве характеристики рассеяния значений случайной величины Х оправдывается также тем, что, как можно показать, математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от постоянной величины С минимально именно тогда, когда эта постоянная С равна математическому ожиданию , т.е. Если случайная величина Х - дискретная с конечным числом значений, то  (3.11).

Если случайная величина Х - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то  (если ряд в правой части равенства сходится).

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .

Сформулируйте св-ва дисперсии.

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

□ . ■

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .

□ Учитывая свойство 2 математического ожидания, получим . ■

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: (3.16) или  где .

□ Пусть М(Х) = а. Тогда D(Х) = М(Х - а)² = М(Х² - 2аХ + а²). Учитывая, что а - величина постоянная, неслучайная, найдем

D(Х) = М(Х)² - 2аМ(Х) + а² = М(Х²) - 2а·а + а² = M(X²) - a².

 Это свойство часто используют при вычислении дисперсии. Вычисление по формуле (3.16) дает, например, упрощение расчетов по сравнению с основной формулой (3.11), если значения xi случайной величины - целые, а математическое ожидание, а значит, и разности (xi - а) - нецелые числа.

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

□ По свойству 3: . Обозначая ,   и учитывая, что для независимых случайных величин М(ХУ)=М(Х)М(У), получим

.■

Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин Х и У равна сумме их дисперсий, т.е. .

5.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

6.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

Обратим внимание на то, что сама величина Х - случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.