Запишит формулу Бейеса. Какое ее предназначение?

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А1,А2,…,Аn образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(A1), Р(А2),..., Р(Аn), известных о испытания, Т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез PF(A1),PF(А2),...,РF(Аn).

□ Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий F и Аi в двух формах: ,

откуда

или с учетом формулы полной вероятности: . ■

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события Р, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским,дает возможность корректировать управленческие решения в эк-ке, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе.

ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ

Запишите формлу Бернулли. Какое ее предназначение?

Теорема. Если вероятность р наступления соб. А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что соб. А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна  , q=1-p. Док-во: Пусть Ai и Āi - соответственно появление и непоявление соб. А в i-м испытании (i=1,2…n), а Bm – соб-е, состоящее в том, что в n независимых испытаниях соб. А появилось m раз. Представим событие Вm через элементарные события Ai. Наприм n=3, m=2: В2=А1А2Ā+А1ĀА3+ ĀА2А3. В общем виде: Bm=А1А2…AmĀm+1+A1Ā2A3…Ān-1An+…+Ā1Ā2… Ān-mĀn-m+1, т.е. кажд вариант появл-я соб. Вm состоит из m появлений соб. А и n-m соб. Ā с разн индексами. Число всех комбинаций = числу способов выбора из n испытаний m, в котор соб-е А произошло, т.е. числу сочетаний  . Вер-сть каждой такой комбинации (кажд варианта появл-я соб. Вm) по теор умножения для независ-х соб-й =p^mq^n-m, т.к. р(Аi)=p, p(Āi)=q, q=1,2…n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теор сложения вероятностей получим: Pm,n=(P(Bm)=p^mq^n-m+…+ p^mq^n-m) –складываем раз = p^mq^n-m.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой