Как находят наивероятнейшее число наступления событий?

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов (появлений события) имеет вид:

Так как , то эти границы отличаются на 1. Поэтому , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда целое число ( ) , то есть когда (а отсюда и ) нецелое число, либо два значения, когда целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов позволяют решить и обратную задачу: по данному и известному значению р определить общее число n всех испытаний.

Локальная теорема Муавра-Лапласа В каких случаях ее применяют.

Аналогом ф Бернулли является локальная ф Муавра-Лапласа, она асимптотическая (ф-ла, точность кот при оценке расм-го параметра возрастает с увеличением аргумента). Локальная теорема Муавра – ЛапласаВероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n). , где Р-вер-ть осущ-я события в отдельном испытании, q- вер-ть неосущ-я события в отдельном испытании, n– кол-во испытаний, , m – кол-во испытаний, в кот данное событие имеет место.  ф-я явл-ся табличной функцией, наз. Функцией Гаусса. Использование таблиц предполагает правила: 1. ; 2. - убывающая; 3.Четность ; 4.Для всех х>5 à .

Используется когда n испытаний велико, а вероятноть р близка к 0 (р≠0; р≠1).

28. Перечислите свойства функции Лапласа φ(х).

1. Функция является четной, т.е.

φ(-х)= φ(х).

2. Функция φ(х) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ φ(х) → 0.

(Практически можно считать, что уже при х > 4 φ(х)≈ 0.

3.

В чем заключаеся интегралная теорема Муавра – Лапласа. В каких случаях ее применяют.

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

,

Где  - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

, .

Формула называется интегральной формулой Муавра­Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей. Функция табулирована

Перечислите свойства функции Лапласа Ф(х).

1)Нечётность Ф(-х)=-Ф(х);

2)Монотонно возрастающая Ф(х);

3)limФ(х)=1 {где хà+¥}; limФ(x)=-1 {где хà-¥}. На практике: если х³5, полагаем что Ф(х)»1 График у=Ф(х) в пределах от –1 до 1.