Ряд распределения. Определение многоугольника распределения.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

Или .

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События Х=х₁, Х=x₂,…,Х=x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения х₁, x₂, ..., x_n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), Т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Т.о., для любой дискретной случайной величины .

Ряд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Какая функция наз. интегральным законом распред-я случ. Величины. Сформул-те свойства этой функии.

 Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

.

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

Общие свойства функции распределения.

-Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

☺ Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность. ☻

- Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

☺ Пусть  и - точки числовой оси, причем > . Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .

Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения:

или откуда .

Так как вероятность , то ,

т.е. - неубывающая функция. ☻

-На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

.

☺  как вероятность невозможного события .

 как вероятность достоверного события . ☻

-Вероятность попадания случайной величины в интервал   (включая ) равна при ращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

.

☺ Формула следует непосредственно из формулы .