Теорема умножени вероятностей для независимых событий

Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Теорема . Если случайные события А и В независимые, то вероятность совместного появления событий А и В равно произведению вероятностей этих событий.

Пример .

Студент должен сдать два экзамена в сессию. Вероятность сдать первый экзамен р₁=0,8. Вероятность сдать второй экзамен р₂ =0,7. Какова вероятность, что студент сдаст два экзамена в сессию.

Решение.

Событие А – сдать первый экзамен. Событие В – сдать второй экзамен. Оба события независимы. Событие А×В – сдать два экзамена. Вероятность сдать два экзамена вычисляется по формуле (4.6).

Р(А × В) = Р(А)×Р(В) = р₁× р₂ = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Частным случаем совместного появления нескольких независимых событий является равенство вероятностей всех событий Р(А₁) =Р(А₂)=…=Р(А_k) в формуле (a).

Чему равна вероятность появления в результате испытаний хотя бы одного из независимых в совокупности событий

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*) Доказательство Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим или Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A) = l — qn. (**)

Запишите формулу полной вер-ти.Какое свойство должны иметь гипотезы в формуле полной вероятности.

Предположим, что событие А происходит одновременно с одним из событий H1, H2,…,Hn, попарно несовместных и образующих полную группу событий.Т.к. заранее неизвестно, с каким из событий Hi событие А произойдет, то H1…Hn – гипотезы. Вероятность P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn).Или

P(A)=

Доказательство:А=AH1+AH2+…+AHn. Т.к. события Hi попарны и несовместны, то будут попарными и несовместными и события AHi. По теореме несовместных событий получаем P(A)=P(AH1+AH2+ …+AHn)= P(H1)+…+P(Hn). P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn).

Замечание1: Т.к. H1,…,Hn образуют полную вероятность, то сумма вероятностей равна 1: P(H1)+ P(H2)+…+ P(Hn)=1.

Замечание2: Вероятности гипотез определяются до опыта и называются априорными.

Гипотезы несовместны.