Условные знаки распределения составляющих X,Y непрерывной двумерной СВ.Условные плотности распределения вероятностей

Условной плотностью фи(x/y) распределения составляющих X при данном значении Y=y называют отношение плотности совметного распределения f(x,y) системы (X,Y) к плотности распределения f2(y) составляющей Y: фи(x/y) = f(x,y)/f2(y). Подчеркнём, что отличие условной плотности фи(x/y) состоит в том,чтофун-ия фи(x/y) даёт распределение X при условии,что составляющая Y приняла значение Y=y,фун-ия же f1(x) дает распределение X независимо от того,какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность составляющей Y при данном значении X-x :

фи (y/x) = f(x,y)/f1(x).

Если известна плотность совместного распределения f(x,y),то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Фи(x/y) = f(x,y)/∫ f(x,y)dx, фи(y/x) = f(x,y)/∫f(x,y)dy

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей,найдемзакон распределения системы СВ.

Условное мат. ожидание составляющих X и Y двумерной СВ ,Ф-ии регрессии

Условным мат.ожиданием двумерной случ.величиныYпри X =х (х-определенное возможное знач.Х) наз-т произведение возможных значений Y на их условные вероятности : M(Y/X=x) = ∑^m_i=1 yp(y/x). Для непрерывных величин :M(Y/X = x) = ∫ y фи(y/x)dy , где фи(y/x) – условная плотность СВ Y при X= x.

Условное мат.ожиданиеM(Y/x) есть фун-ия от х : M(Y/x) = f(x),которую называют фун-ейрегрессии Y на X ..

Аналогично определяется условное мат.ожидание СВ Х и фун-ия регрессии Х на Y :

M(X/y)=фи(y).                     

Зависимые и независимые СВ.Корреляционный момент.Коэффициент корреляции

                   Мы называли две величины СВнезависимыми,если закон распределения одной из них не зависит от того,какие возможные значения приняла другая величина

Теорема:Для того чтобы СВ XY были независимыми,необходимо и достаточно,чтобы функция распределения системы (X,Y) была равна произведению функций распределения составлюющих: F(x,y)=F1(X) F2(Y). Док-во: Пусть XYнезависимы.Тогда события Х<x и Y<yнезависимы,следовательно,вероятность совмещения этих равна произведению их вероятностей: P(X<x,Y<y) = P(X<x) P (Y<y) , т.е вероятность совмещения событий Х<xY<y равна произведению вероятностей этих событий.Следоваельно,СВXY независимы

Следствие. Для того чтобы непрерывные СВXY были независимы,необходимо и достаточно,чтобы плотность совместного распределения системы (X,Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих : f(x,y)=f1(x)f2(y)

Корреляционный момент служит для хар-ки связи м/у величинами X,Y .Корреляционный момент равен нули,еслиX,Y независимы, следовательно,если корреляционный момент не равен нули,тоX,Y – зависимые СВ

Теорема1. Корреляционный момент двух неизвестных СВX,Y равен нули

Коэффициент корреляции rxyСВX,Yназ-т отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Торема2. Абсолютная величина корреляционного момента двух СВX,Y не превышает среднего геометрического их дисперсий

Теорема3 .Абсолютная величина коэффициенты корреляции не превышает единицы