Технология решения дифференциальных уравнений второго порядка и выше, используя функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer

q представить ОДУ в виде системы ОДУ первого порядка (в стандартной форме: обозначив значение первой производной   и выразив вторую производную через значение первой производной и искомой функции  (значение переменной ORIGIN=0));

q сформировать вектор-столбец правых частей системы уравнений – D;

q сформировать вектор начальных условий;

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed (Rkadapt или Bulstoer), указав в скобках необходимые параметры;

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – соответсвующие приближенные значения самой функции, а в третьем - значения производной);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z =;

q построить график найденной функции, указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец  и .

Пример 9.3. Найтичисленноерешение ОДУ второго порядка при начальных условиях y(0)=0 и у’(0)=1, используя функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer.

Реализация в MathCad:

1.9.4 Технология решения систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для решения системы дифференциальных уравнений первого порядка описана для значения ORIGIN=0.

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,

например, систему   можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной;

 например, ;

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D(t,V);

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

;

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed, указав в скобках следующие параметры:

1. имя вектора начальных условий,

2. левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

3. правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

4. количество точек, в которых ищется решение,

5. имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т.д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z =;

q построить графики найденных функций (см. тему 5), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, ,  и т.д.

Пример 9.2. Найтирешение системы дифференциальных уравнений

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x(0)=0.1 и y(0)=1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

Реализация в MathCad: