Алгоритм Евклида для многочленов

Алгоритм Евклида - это правило нахождения наибольшего общего делителя для многочленов а(х) и b(х) (над полем Р) при b(х) ≠ 0,  заключающееся в следующем.

Многочлен а(х) делят с остатком на b(х). Если полученный остатокr₁(x)неравен нулю, то b(х) делят на полученный остаток r₁(x), затем r₁(x) делятна остаток r₂(х) от деления b(х) на r₁(x), и так далее, пока не получат остаток, равный нулю:

а(x) = b(х)q₁(х) + r₁(х),

b(х) = r₁(x)q₂(x) + r₂(x),

r₁(x) = r₂(x)q₃(x) + r₃(x),

r_n-1(x) = r_n(x)q_n+1(x),

гдеdeg b(x) > deg r₁(x) > deg r₂(x) > ... >degr_n(x) и r_n(x) — последний отличный от нуля остаток. Так как степени остатков строго убывают, то процесс этот всегда конечен.

Из приведенных выше соотношений следуют два утверждения: 

1) Последний отличный от нуля остатокr_п(х) в алгоритме Евклида, примененном к многочленам а(х) и b(х) ¹ 0 из кольца Р[х], является наибольшим общим делителем многочленов a(х), b(х).

2) Многочлен d(x) из кольца Р[х]является наибольшим общим делителем многочленов а(х), b(х) в том и только в том случае, когдаd(x) = cr_n(х), где сÎР и с ¹ 0.

Многочлены a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x) называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, (a₁(x), a₂(x) ,... , a_n(x)) = 1.

Для любых многочленов а(х), b(х), с(х) имеют место утверждения:

1)(а(х),b(х)) = 1Û существуют u(x), v(x) ÎP[х]: a(xu(x)+ b(x)v(x) = 1. 

2)(а(х),b(х)) = 1, (а(х),с(х)) = 1 Þ (а(х), b(х)с(х)) = 1.

3)(a(x),b(x))=d(x)¹ 0Þ .

5) а(х)|с(х), b(х)|с(х) и (a(х),b(х)) = 1 Þ a(х)b(х)|с(х).

6)(a(х),b(х)) = 1 иa₁(x)|a(x), b₁(x)|b(x), Þ (a₁(x), b₁(x)) = 1.

7)(а(х), b(х)) = 1 и m, n- любые натуральные числа Þ(а(х)^m,b(х)ⁿ) = 1.

Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов

Многочлен а(х) из Р[х]степени n> 0 называется неприводимымнад полем Р, если не существует многочленов а₁(х),a₂(х) Î Р[х]таких, что: а(х)=а₁(х)а₂(х), 0<dega_i(х) <п, i = 1,2. В противном случае многочлен а(х) называется приводимымнад Р. Многочлены нулевой степени и нулевой многочлен не относятся ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам.

Любой многочлен а(х) степени n> 0 над полем Р разлагается в произведение неприводимых над полем Р многочленов, и такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и их отличий на множители нулевой степени.

Любой многочлен а(х) степени п>0 над полем Р может быть представлен в следующем виде:

, где cÎP, p₁(x), ... ,p_r(x) — различные унитарные и неприводимые над Р многочлены,k₁,.., k_rÎN.

Такое представление многочлена а(х) называется его каноническим разложениемнад полем Р. Оно единственно с точностью до перестановки сомножителей вида iÎ{1, 2,...,r}.

Каноническое разложение многочлена на неприводимые множители существенно зависит от того поля, над которым этот многочлен рассматривается.

Корни многочлена

Пусть f(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + а₀— многочлен над кольцом R и r- некоторый элемент кольца R. Значение произведения двух многочленов при х=r равно произведению их значений при том же значении х=r только если r перестановочен со всеми коэффициентами многочлена f₂(x). В частности, это свойство имеет место для любых многочленов над коммутативным кольцом, а значит, и над любым полем.

Элемент r кольца Rназывается корнеммногочлена f(x)ÎR[x], если значение многочлена f(x) при x=r равно нулю, то есть f(r)= 0.

Теорема Безу

В этом разделе будем рассматривать многочлены над некоторым полем Р.

Сформулируем теорему Безу:

Значение многочленаf(x) над полем Р при х = а равно остатку от деления многочлена f(x) на многочлен x – a.

Элемент а поля Р является корнем многочленаf(x)ÎP[x]тогда и только тогда, когдаf(x) делится на многочлен х – а.

Отсюда, в свою очередь, можно заключить, что многочленf(x) степени п над полем Р может иметь в поле Р не более п различных корней.

У многочленов над кольцами количество корней может превышать степень самого многочлена.

Основная теорема алгебры

Любой многочлен над полем комплексных чисел К имеет в К хотя бы один корень.

Любой многочлен степени n> 1 из кольца многочленов над полем комплексных чисел K[x] разлагается над K в произведение многочленов первой степени (линейных множителей).

Если многочленf(x) над полем действительных чиселR имеет комплексный корень α = а + bi, то корнемf(x) является и сопряженное к α числонад полем К: = a – bi. (Сопряженные комплексные числа отличаются знаками своих мнимых частей.)

Любой многочлен нечетной степени над полем действительных чисел R имеет по крайней мере один действительный корень. Так как рассматриваемый над полем комплексных чисел этот многочлен имеет нечетное число корней, а все комплексные корни являются парами со своими сопряженными.

Неприводимыми над полем R являются лишь многочлены первой степени вида (x – a) и многочлены второй степени вида ах²+ bх + с с отрицательными дискриминантами (для которых выполняется условие b² – 4ас < 0).