Построение кольца многочленов

Зафиксируем любое кольцо Rс единицей е и рассмотрим множество M_rвыражений вида а₀ + a₁x¹+ а₂х² + ... + а_пх^п,    где a₀, a₁,..., а_п ÎR. Выражение вида а₀ + a₁x¹+ а₂х² + ... + а_пх^п называется многочленомот x над кольцом Rи обозначается в виде а(х). Множество всех многочленов от x над кольцом Rобозначается через R[x].

Многочлены вида a_ixⁱ, i= 0, 1, ..., n, называются членамимногочлена, элементы а₀, а₁, ... ,а_п- его коэффициентами, а₀-свободным членом. Если а_п¹ 0, а все коэффициенты с большими индексами равны нулю, то п называется степеньюмногочлена, а элемент а_п- старшим коэффициентом.Если ненулевым является только свободный член, то, как следует из определения, степень соответствующего многочлена равна нулю. Если нулевыми являются все коэффициенты и свободный член, то соответствующий многочлен а(х) называется нулевым и записывается, как а(х) = 0. Степень нулевого многочлена считают равной -∞.

Степень многочлена а(х) обозначается в виде dega(x) (от английского degree).Многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, называется унитарным или каноническим.

На множестве R[x]могут быть определеныоперации сложения и умножения. Суммоймногочленов а(х) +b(x) =с(х)из R[x]называется многочлен с(х) = c₀ + c₁x¹ ... + c_kх^k, в котором c_i = a_i + b_i, i = 0, 1,...k = max{n, m}.

Произведениеммногочленов а(х) b(x) =d(х)из R[x]называется многочлен d(х) = d₀ + d₁x¹ ... + d_kх^k, в котором .

Определенные таким образом операции сложения и умножения многочленов являются внутренними бинарными операциями на множестве R[x], так как с(х) иd(х) принадлежатR[x]. Очевидно, что операция сложения ассоциативна и коммутативна. Нулевым элементом в R[x]является многочлен 0. Противоположным к многочлену а(х) является многочлен-а(х)

Непосредственной проверкой устанавливается ассоциативность операции умножения и дистрибутивность умножения относительно сложения. Единицей (нейтральным элементом по умножению) является многочлен 1.

Таким образом, для любого кольца R с единицей множество R[x], относительно определенных в нем операций сложения и умножения является кольцом с единицей. Это кольцо называется кольцом многочленов над кольцом R.

Свойства делимости многочленов

1) а(х) | b(х)Þrа(х) | sb(х) при любых r,sÎP\{0}.

2) а(х) | b(х), b(х) | с(х) Þ а(х) | с(х).

3) а(х) | b(х), а(х) | с(х) Þ а(х) | b(x) ± с(х).

4) а(х) | b(х) Þ а(х) | b(х)с(х).

5) а(х) | b(x), a(x) не делит c(x) Þa(x) не делит b(х) ± c(x),

6) r | a(x), ra(x) | a(x) при любом rÎP\{0}.

7) a(x)|b(x), b(x)|a(x) Û существует rÎP\{0} такой, что b(x)=ra(x).

Как и для множества целых чисел Z, в кольце многочленов Р[х]можно определить деление с остатком.

Пусть а(х),b(х) -любые многочлены из кольца Р[х]. Говорят, что а(х) делится с остаткомна b(х), если существуют такие многочлены q(x), r(х)ÎР[х], что выполняются условия:

1) a(x) = b(x)q(x) + r(x),

2) deg r(x) < deg b(x).

При этом многочлен q(x) называется неполным частным, а многочлен r(х) называется остатком от деления а(х) на b(х).