II. Изучение нового материала.

1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки
М₁ (х₁; у₁), М₂ (х₂; у₂),

d = М₁М₂ = .

2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника.

3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора.

В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А =
= cos 90° = 0 и по формуле а² = b² + с² – 2bс ∙ cos А получаем а² = b² + с², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов.

III. Решение задач.

1. Решить задачу 1.

Найдите сторону АВ  треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, С = 60°.

Решение

АВ² = ВС² + АС² – 2 ∙ ВС ∙ АС ∙ cos С = 3² + 5² – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60° = 9 +
+ 25 – 15 = 19; АВ = см.

Ответ: см.

2. Решить задачу 2.

Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с =  и В =
= 135°.

Решение

По теореме косинусов находим b:

b = =

= ≈ 5,7.

Ответ: ≈ 5,7.

3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ =
= АС = 1 м, ВС = м.

Решение

Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а² = b² + с² – 2bс ∙ cos А;

cos А = ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = м.

cos А = ; cos А = , тогда А = 120°.

Ответ: 120°.

4. Решить задачу № 1031.

Решение

а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = . Так как  > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) а = 17; b = 8; с = 15.

cos А = = 0;

сos А = 0, значит, А = 90°.

Ответ: прямоугольный.

в) а = 9; b = 5; с = 6.

cos А = .

Так как –1 <  < 0, то А – тупой.

Ответ: тупоугольный треугольник.

IV. итоги урока.

Задание на дом: выучить материал пунктов 96–98; решить задачи №№ 1027, 1032.

Урок 6
Решение треугольников

Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять эти теоремы в ходе решения задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

Учащиеся на отдельных листочках доказывают изученные теоремы и сдают учителю.

Вариант I

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Вариант II

Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

Вариант III

Сформулируйте и докажите теорему синусов.