II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие угла между векторами  и  (рис. 300 и таблица).

2. Угол  между векторами  и  не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы  и .

3. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.

4. Обозначение угла между векторами: .

5. Определение углов между векторами на рисунке 301.

6. Определение перпендикулярных векторов.

7. Повторить по настенным таблицам сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.

8. Введение еще одного действия над векторами – скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) – именно это и обусловило название операции.

9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:

Скалярное произведение векторов

Если  и , то

а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> ( < 0);

в)  <=> ( = 0); г) ( = 0°) <=> .

10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы  при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы  и перемещения  на косинус угла между ними: .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.

2. Решить задачу № 1041 (в).

Примечание. Сos 135° = cos (180° – 45°) = – cos 45° = .

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. 87; решить задачи №№ 1039 (в, г), 1040 (г), 1042 (а, б).

Урок 10
Скалярное произведение в координатах.
Свойства скалярного произведения векторов

Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что , где  и  – координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора  по координатным векторам  и .

3. Даны векторы (–1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов  и .

4. Найдите координаты вектора , если (–3; 0).

5. Даны векторы (5; 6) и (–2; 3). Найдите координаты вектора .

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите .

8. Скалярное произведение ненулевых векторов  и  равно нулю. Чему равен угол между векторами  и ?

Вариант II

1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам  и .

2. Известно, что , где  и  – координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

3. Найдите координаты вектора – , если  (0; –2).

4. Даны векторы (2; –1) и (3; –1). Найдите координаты разности векторов  и .

5. Даны векторы (–1; 9) и (3; –2). Найдите координаты вектора .

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2 . Вычислите .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов  и ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ≥ 0 ( > 0 при  0); 2) ;

3) ; 4) .