III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

Дано: = 8;  = 15; АВС = 120°. Найти: . Решение Пусть ;

, тогда по правилу треугольника  (или по правилу параллелограмма вектор  есть равнодействующая сила ).

C = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD² = BC² + CD² – 2BC ∙ CD ∙ cos C =

= 8² + 15² – 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙  = 64 + 225 – 120 = 169;

= 169; = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачи № 1044 (а, б).

3. Устно № 1045.

4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 1051.

Решение

= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙  + 4 ∙  = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

1) cos A =

cos A = ; cos A = , то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:

B ≈ 21°47′.

3) C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′.

Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′.

7. Решить задачу № 1052.

Решение

= 5² – 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 2² – 4² =

= 25 + 4 – 16 = 13; = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.

Решение

По условию .

= 9 ∙ 1 – 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.

= 25, тогда  = 5.

Ответ: 5.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание:изучить материал пунктов 101–104; ответить на вопросы 17–20 на странице 271 учебника; решить №№ 1044 (в), 1047 (а), 1054 (разобрать решение задачи и записать в тетрадь).

урок 11
Решение задач

Цели: закрепление и проверка знаний и умений учащихся, сформированных при изучении главы XI, формирование навыков решения задач, развитие навыков логического мышления.

Ход урока

I. Математический диктант(10 мин).

Вариант I

1. Вычислите скалярное произведение векторов  и , если , а угол между ними равен 120°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов  и  равно 0. Определите угол между векторами  и .

3. Вычислите скалярное произведение векторов  и , если (3; –2), (–2; 3).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; у) и (–у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами  и , если (3; –4), (15; 8).

6. Даны векторы (2; –3) и (х; –4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?

Вариант II

1. Вычислите скалярное произведение векторов  и , если , а угол между ними равен 135°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов  и  равно нулю. Определите угол между этими векторами.

3. Вычислите скалярное произведение векторов  и , если (–4; 5), (–5; 4).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; –у) и (у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами  и , если (–12; 5), (3; 4).

6. Даны векторы (3; у) и (2; –6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.

2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть АВСD – данный ромб. Выразим векторы  и  через векторы  и :

используя эти выражения, получаем:

 так как АD = АВ. Следовательно, АС ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.

Решение АВ = ВС = АС = а; ВD  АС. а) cos 60° = = a ∙ a ∙  = a2;

б)

cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = – .

в) ∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;

г) ∙ cos 0° = a ∙ a ∙ 1 = a².

ответ: а) a²; б) – a²; в) 0; г) а².

4. Решить задачу № 1050.

Решение

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда

.

= 5² – 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙  + 8² = 25 – 40 + 64 = 49, ; значит,
= 7.

Самостоятельно учащиеся находят .