Закон экспоненциального распределения

Это распределение относится к процессам, в которых отказ элемента наступает внезапно, т. е. независимо от того, сколько времени он до этого находился в эксплуатации и каково его состояние. Этим законом описываются периоды времени автоматического хода станков или агрегатов автоматических линий, время между простоями станков, длительность регулировок и подналадок находящихся в эксплуатации станков, приборов и аппаратов, периоды безотказной работы объектов и т. п.

Плотность вероятности случайной величины, распределение которой подчиняется экспоненциальному закону, определяется уравнением

,                                          (30)

где λ – постоянная (параметр закона распределения) отражающая интенсивность отказов (количество отказов в единицу времени). Применительно к инструменту параметр λ обычно определяется временем  наработки на отказ

.

Интегральная функция распределения описывается формулой

 .                             (31)

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко

Закон Вейбулла-Гнеденко используется для описания распределения случайных величин, характеризующих прочность и долговечность различных устройств и их элементов (режущего инструмента, элементов радиоэлектронной аппаратуры и т. п.). Плотность вероятности распределения случайной величины, например стойкости инструмента T, по закону Вейбулла-Гнеденко равна

при T ≥ 0                                    (32)

Интегральная функция распределения вычисляется по формуле

,                                         (34)

где a и b – параметры масштаба и формы кривой распределения.

Оценки параметров закона Вейбулла-Гнеденко могут быть вычислены методом разделяющих разбиений следующим образом [4].

Пусть по результатам испытаний получено n значений x₁, x₂,…, x_n исследуемой переменной x. Выбирают границы X₁ и X₂ (X₁ < X₂) разбиения размаха значений x и подсчитывают количество значений x_i, лежащих в пределах (x_min, X₁) и (x_min, X₂). Обозначив эти количества через m(X₁) и m(X₂), находят отношения , (i = 1, 2).

Далее вычисляют оценки  и  параметров a и b закона распределения Вейбулла по формулам

; .

Принимая  и , по формуле (32) рассчитывают теоретические значения плотности вероятности распределения случайной величины.

Закон логарифмического нормального распределения

Логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение имеют характеристики усталостных испытаний материалов и устройств, износостойкости инструмента и др.

Логнормальное распределение – это распределение случайной величины x, распределение логарифма значений которой (t = lnx) подчиняется нормальному закону.

Дифференциальная функция распределения случайной величины x описывается следующим уравнением:

,                          (34)

где  – среднее квадратическое отклонение логарифма случайной величины x;  - математическое ожидание логарифма случайной величины x.

Интегральная функция распределения вычисляется по формуле

.                  (35)

Контрольные вопросы

1. Распределение значений каких свойств изделий машиностроения, показатели которых являются случайными величинами, описывается биноминальным законом распределения? При каких условиях закон биномиального распределения и закон редких событий практически совпадают?

2. Какие статистические характеристики используются при описании распределения случайной величины нормальным законом?

3. Каким законом может быть описано распределение случайной величины, характеризующей биение обрабатываемой поверхности?

4. Каким законом может быть описано распределение погрешности формы деталей: овальность, конусность?

5. Распределение каких случайных величин могут быть описаны законом Вейбулла-Гнеденко? Приведите интегральную функцию этого закона распределения случайной величины.

Тема 3. Выборочный метод.

Литература [1, 2, 3]