Закон редких событий (Пуассона)

Если вероятность p события A очень мала (p ≤ 0,1), а число n испытаний велико, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n испытаниях, будет равна

,                                      (3)

где а = np = M(k) — математическое ожидание числа k.

Уравнение (3) определяет собой распределение редких событий, или распределение Пуассона.

Когда число испытаний n велико, а p мало, то закон биномиального распределения и закон редких событий практически совпадают. Это имеет место тогда, когда p ≤ 0,1 и np < 4. При этих условиях вместо формулы (2) можно применить формулу (3), т. е.

.                             (4)

Принимая во внимание, что a = np , формула (4) примет вид

.                      (5)

Пример 3. В партии деталей имеется 1% брака. Какова вероятность того, что при взятии из партии выборки объемом 50 шт. в ней будет находиться 0, 1, 2, 3, 4 дефектных детали.

Решение. Учитывая, что p = 0,01; n = 50, находим:

np = 50 0,01 = 0,5;

; ;

; ; .

Закон Пуассона имеет только один параметр М(k) = а = np. Для этого распределения дисперсия численно равна математическому ожиданию:  = M(k). Поэтому, когда в распределении дискретной случайной величины  и σ² мало отличаются друг от друга по своим численным значениям, то можно уверенно считать, что данное распределение подчиняется закону редких событий.

Закон редких событий имеет практическое применение в машиностроении для выборочного контроля готовой продукции, когда по техническим условиям в принимаемой партии продукции допускается некоторый процент брака (обычно небольшой) и поэтому всегда p << 0,1, а объем выборки n берут таким, чтобы было np << 4.

При помощи закона редких событий можно вычислить вероятность того, что в выборке из n шт. будет содержаться: 0, 1, 2, 3 и т. д. бракованных деталей, т. е. заданное число k раз. Можно также вычислить вероятность появления в такой выборке k штук дефектных деталей и более. Эта вероятность на основании правила сложения вероятностей будет равна

,              (6)

где k = 0,1,2,...,l.

Если эта вероятность для некоторого значения k окажется очень малой (например, меньше 0,05), то на основании принципа практической невозможности маловероятных событий можно считать, что появление в выборке из n штук деталей k или более дефектных несовместимо с нашим исходным допущением, что во всей партии имеется не более 100р % брака. Следовательно, в действительности во всей партии имеется брак более чем 100р %, и она не может быть принята.

Пример 4. Допустимый процент брака во всей партии составляет 1%, т. е. p = 0,01. Объем выборки n = 50. Определить вероятность того, что в выборке окажется 1, 2, 3 и более дефектных деталей.

Решение. Определим сначала вероятности того, что в выборке окажется 0, 1, 2, 3 и т. д. дефектных деталей.

Из предыдущего примера имеем:

Р(50,0) = 0,607; Р(50,1) = 0,303; Р(50,2) = 0,075;

Р(50,3) = 0,012; Р(50,4) = 0,001.

Отсюда

Р(50,1 или более) = 1 - 0,607 = 0,393;

Р(50,2 или более) = 1-(0,607+0,303) = 0,393-0,303 = 0,09;

Р(50,3 или более) = 0,090 - 0,075= 0,015;

Р(50,4 или более) = 0,015 - 0,012 = 0,003.

Следовательно, если в выборке обнаружится 3 или более дефектные детали, то в силу малой вероятности такого явления (Р = 0,015) надо считать, что во всей партии в действительности доля брака более чем 0,01.